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jueves, 27 de septiembre de 2007
Hijos de la marina Leucotea Solución 01
Hay una primera solución de 'Hijos de la marina Leucotea'.
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domingo, 23 de septiembre de 2007
Y sin embargo existes, comunión Enunciado 01
Y sin embargo existes, comunión
Y sin embargo existes,
comunión, y nos mueves
en íntimas palabras
que entretejen el mundo.
Nocturno abandonado
Gabriel Zaid
Una persona planea hacer una edición especial de una antología poética de Gabriel Zaid, que titulará “Y sin embargo existes, comunión”. La función que relaciona el precio y el número de ejemplares está dada por la primera gráfica, en tanto que sus costos se describen en la segunda gráfica.
a) ¿Cuál es el precio por ejemplar que le dará al editor la ganancia máxima si se agota la edición?
b) ¿Cuántos ejemplares debe tirar?
c) ¿Qué ganancia obtendrá?
d) ¿Cuánto tendrá que invertir en la edición?
Y sin embargo existes,
comunión, y nos mueves
en íntimas palabras
que entretejen el mundo.
Nocturno abandonado
Gabriel Zaid
Una persona planea hacer una edición especial de una antología poética de Gabriel Zaid, que titulará “Y sin embargo existes, comunión”. La función que relaciona el precio y el número de ejemplares está dada por la primera gráfica, en tanto que sus costos se describen en la segunda gráfica.
a) ¿Cuál es el precio por ejemplar que le dará al editor la ganancia máxima si se agota la edición?
b) ¿Cuántos ejemplares debe tirar?
c) ¿Qué ganancia obtendrá?
d) ¿Cuánto tendrá que invertir en la edición?
Por sus derivadas las conoceréis Enunciado 01
Por sus derivadas las conoceréis
A partir de la gráfica de f ’, esboza las gráficas de f y de f ’’. Describe la información que aporta f ’ sobre f.
domingo, 16 de septiembre de 2007
La gula ratonil Enunciado
La gula ratonil
Un ratón avanza y retrocede en un túnel, atraído por trocitos de queso Oaxaca que se meten y sacan alternadamente desde los extremos (derecho e izquierdo del estrecho túnel). La gráfica de la velocidad v del ratón aparece en la figura, la velocidad es positiva cuando se mueve hacia el extremo derecho del túnel y negativa hacia el izquierdo.
El ratón empieza en el centro del túnel:
a) Usa la información que proporciona la gráfica para calcular los tiempos en los que
(a1) El ratón cambia de sentido.
(a2) El ratón se mueve más rápidamente a la derecha (a la izquierda)
(a3) El ratón se encuentra más alejado, a la derecha, del centro (más alejado a la izquierda).
(a4) La rapidez del ratón es decreciente.
(a5) El ratón está en el centro del túnel.
b) Haz una tabla con la descripción de la posición, la velocidad y la aceleración del ratón en el intervalo que se representa en la gráfica.
c) Encuentra las funciones de la posición, la velocidad y la aceleración del ratón en el intervalo que se representa en la gráfica
d) Formula dos preguntas sobre el movimiento del ratón y respóndelas.
e) Usa un dispositivo transductor para simular el movimiento del ratón y verifica, con las gráficas obtenidas de la simulación, la descripción que hiciste en el inciso b.
f) Aplica el modelo PER (Propósito, Estrategia, Resultado).
Un presidente conservador Enunciado
Un presidente conservador
G(t) es el número de personas desempleadas en un país t semanas después de la elección de un presidente conservador en cuestiones fiscales. Interpreta cada uno de los hechos siguientes, relativos a la gráfica de G(t), mediante la formulación de enunciados sobre la situación del desempleo:
La intersección de y = G(t) con el eje vertical es 2000000.
G(20) = 3000000.
La pendiente de y = G(t) en t = 20 es 10000.
G’’(36) = 800, G’(36) = 0.
a) Escribe un enunciado que sintetice el conjunto de afirmaciones que formulaste.
b) Traza una gráfica que muestre cómo varía el número de desempleados con respecto al tiempo.
G(t) es el número de personas desempleadas en un país t semanas después de la elección de un presidente conservador en cuestiones fiscales. Interpreta cada uno de los hechos siguientes, relativos a la gráfica de G(t), mediante la formulación de enunciados sobre la situación del desempleo:
La intersección de y = G(t) con el eje vertical es 2000000.
G(20) = 3000000.
La pendiente de y = G(t) en t = 20 es 10000.
G’’(36) = 800, G’(36) = 0.
a) Escribe un enunciado que sintetice el conjunto de afirmaciones que formulaste.
b) Traza una gráfica que muestre cómo varía el número de desempleados con respecto al tiempo.
Dulces esferas de luz Solución 01
Hay una primera solución de 'Dulces esferas de luz'.
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Dulces esferas de luz Enunciado
Dulces esferas de luz
En una huerta de Montemorelos, Nuevo León, se estima que si se plantan 75 naranjos, la producción promedio por árbol será de 360 naranjas. La producción disminuirá en 3 naranjas por cada árbol adicional plantado en la misma extensión. ¿Cuál es la producción máxima de naranjas en esta huerta? Las naranjas se acomodan en forma de pirámide (de base triangular o cuadrangular), ¿cuántos pisos tendrá cada pirámide considerando la producción máxima de la huerta?
El negro que no se raja Enunciado
El negro que no se raja
En un cierto momento, se comienza a introducir agua en un tinaco vacío, con un gasto de 40 litros/minuto. Este gasto se mantiene constante durante dos minutos, hasta que el tinaco contiene 80 litros. En el transcurso de los dos minutos siguientes el gasto se reduce gradualmente hasta los 5 litros/minuto. Este gasto permanece constante durante los dos últimos minutos. En el instante final, al cabo del sexto minuto, el tinaco contiene 135 litros.
a) ¿Cuántos litros de agua contiene el tinaco cuando t = 2.5, 3 y 3.7 minutos? ¿Y en cualquier instante t?
Supongamos ahora que se pone a funcionar una bomba en el instante t = 2 y que, durante los cuatro minutos siguientes, se extrae agua del tinaco a un gasto constante de 15 litros/minuto.
b) ¿Cuándo alcanza el nivel del agua su máximo valor?
En un cierto momento, se comienza a introducir agua en un tinaco vacío, con un gasto de 40 litros/minuto. Este gasto se mantiene constante durante dos minutos, hasta que el tinaco contiene 80 litros. En el transcurso de los dos minutos siguientes el gasto se reduce gradualmente hasta los 5 litros/minuto. Este gasto permanece constante durante los dos últimos minutos. En el instante final, al cabo del sexto minuto, el tinaco contiene 135 litros.
a) ¿Cuántos litros de agua contiene el tinaco cuando t = 2.5, 3 y 3.7 minutos? ¿Y en cualquier instante t?
Supongamos ahora que se pone a funcionar una bomba en el instante t = 2 y que, durante los cuatro minutos siguientes, se extrae agua del tinaco a un gasto constante de 15 litros/minuto.
b) ¿Cuándo alcanza el nivel del agua su máximo valor?
Hijos de la marina Leucotea Enunciado
Hijos de la marina Leucotea
En la isla Leucotea, los ciudadanos pueden invertir su dinero en tierras, bonos (que dan rendimientos fijos) o en acciones (que generan rendimientos variables). En las próximas elecciones uno de los dos partidos el PA de orientación conservadora o el PB, de tendencia liberal, alcanzará el poder. El valor de la inversión dependerá de las medidas que adopte el partido gobernante. Si gobiernan los del PA se incrementará el precio de la tierra y disminuirá el valor de las acciones. Las medidas del PB, en caso de ganar las elecciones, producirán el efecto contrario. Estos cambios se pueden describir expresando el valor que tendría al cabo de un año una unidad monetaria invertida en cada activo. En caso de ganar el PA, la tierra alcanzaría un valor de 1.25, los bonos 1.05 y las acciones 0.9 por unidad monetaria invertida. Si gana el PB, los valores correspondientes serían 0.95, 1.05 y 1.15.
a) Una persona tiene 10,000 unidades para invertir. En principio, piensa distribuir su inversión: 5000 en tierras, 1000 en bonos y 4000 en acciones. ¿Qué partido le conviene que gane?
b) Considera las carteras de inversión siguientes: (4000, 1000, 5000); (5000, -10000, 5000); (2000, -10000, 8000); (1000, -2000, 1000). ¿Qué partido le conviene que gane?
c) Una cartera libre de riesgos tiene siempre el mismo valor y una cartera de arbitraje no puede dar pérdidas. Una persona tiene 10,000 unidades para invertir. ¿Qué combinaciones puede realizar para tener una cartera libre de riesgos? ¿y para una cartera de arbitraje?
En la isla Leucotea, los ciudadanos pueden invertir su dinero en tierras, bonos (que dan rendimientos fijos) o en acciones (que generan rendimientos variables). En las próximas elecciones uno de los dos partidos el PA de orientación conservadora o el PB, de tendencia liberal, alcanzará el poder. El valor de la inversión dependerá de las medidas que adopte el partido gobernante. Si gobiernan los del PA se incrementará el precio de la tierra y disminuirá el valor de las acciones. Las medidas del PB, en caso de ganar las elecciones, producirán el efecto contrario. Estos cambios se pueden describir expresando el valor que tendría al cabo de un año una unidad monetaria invertida en cada activo. En caso de ganar el PA, la tierra alcanzaría un valor de 1.25, los bonos 1.05 y las acciones 0.9 por unidad monetaria invertida. Si gana el PB, los valores correspondientes serían 0.95, 1.05 y 1.15.
a) Una persona tiene 10,000 unidades para invertir. En principio, piensa distribuir su inversión: 5000 en tierras, 1000 en bonos y 4000 en acciones. ¿Qué partido le conviene que gane?
b) Considera las carteras de inversión siguientes: (4000, 1000, 5000); (5000, -10000, 5000); (2000, -10000, 8000); (1000, -2000, 1000). ¿Qué partido le conviene que gane?
c) Una cartera libre de riesgos tiene siempre el mismo valor y una cartera de arbitraje no puede dar pérdidas. Una persona tiene 10,000 unidades para invertir. ¿Qué combinaciones puede realizar para tener una cartera libre de riesgos? ¿y para una cartera de arbitraje?
Dédalo y Calipso Solución 02
Hay una solución con matrices de 'Dédalo y Calipso'.
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viernes, 14 de septiembre de 2007
Dédalo y Calipso Enunciado 03
Dédalo y Calipso
En una ciudad chica hay dos misceláneas, «La gruta de Calipso» y «El laberinto de Dédalo» que compiten por clientes potenciales. Cada mes, el r% de los clientes de Calipso queda satisfecho y regresa a comprar ahí mismo, mientras que el resto prefiere irse con Dédalo. En cambio, de los clientes de Dédalo, sólo el s% queda satisfecho, el otro (100-s)% se va con Calipso. Considera que al principio hay c0 clientes en «La gruta de Calipso». ¿Cuántos clientes hay en cada miscelánea en el mes x? El número de clientes en cada miscelánea se estabiliza cuando el número de los que dejan de comprar en una miscelánea es igual a los que vienen a comprar de la otra, ¿cuántos clientes habrá en cada tienda en ese momento?
En una ciudad chica hay dos misceláneas, «La gruta de Calipso» y «El laberinto de Dédalo» que compiten por clientes potenciales. Cada mes, el r% de los clientes de Calipso queda satisfecho y regresa a comprar ahí mismo, mientras que el resto prefiere irse con Dédalo. En cambio, de los clientes de Dédalo, sólo el s% queda satisfecho, el otro (100-s)% se va con Calipso. Considera que al principio hay c0 clientes en «La gruta de Calipso». ¿Cuántos clientes hay en cada miscelánea en el mes x? El número de clientes en cada miscelánea se estabiliza cuando el número de los que dejan de comprar en una miscelánea es igual a los que vienen a comprar de la otra, ¿cuántos clientes habrá en cada tienda en ese momento?
jueves, 13 de septiembre de 2007
Epifanía Registros y Evidencias 01
Epifanía
Puedes consultar los enunciados de Epifanía 1 y Epifanía 2.
Registros y Evidencias
Entre las actividades realizadas en un 'Taller de Modelación Matemática' realizado en el CECyT Wilfrido Massieu, se encontraba 'Epifanía'.
En 'Epifanía' se pide a los estudiantes que construyan la gráfica del movimiento de una persona que se aleja de un punto de partida hasta 500 metros, para luego regresar y sólo dispone de nueve minutos. Pero durante dicho trayecto se detiene cuatro minutos
Suárez et al (2005)* describen así las actividades de graficación - modelación en la realización de 'Epifanía':
Tres actividades para analizar una situación de movimiento a través de:
- Proponer un modelo gráfico: se pide diseñar una gráfica que describa los cambios de posición de un una persona que realiza el movimiento descrito. En el momento de realizar esta tarea se toman decisiones: las variables que intervienen, la escala de la gráfica y las distancias recorridas en distintos instantes.
- Realizar una simulación: se pide simular el movimiento frente al sensor para obtener la gráfica estipulada. El movimiento se adapta al alcance del sensor. A partir de múltiples realizaciones se establecen relaciones entre las características del movimiento y los diversos comportamientos gráficos obtenidos en la calculadora.
- Efectuar un contraste entre el modelo gráfico y la situación: se pide ajustar el modelo gráfico original dando cuenta de la situación planteada.
Se esperan de los estudiantes múltiples realizaciones en la simulación del movimiento en las que tomen decisiones sobre las características que se varían en la situación para la obtención de distintas gráficas.
*Suárez, L.; Flores, C.; Gómez, A.; Licona, R. (2005). Uso de las gráficas a través de actividades de modelación matemática con calculadoras y dispositivos transductores. Resumen del taller aprobado para su presentación en el Quinto Encuentro de Tecnología Educativa del IPN.
Puedes consultar los enunciados de Epifanía 1 y Epifanía 2.
Registros y Evidencias
Entre las actividades realizadas en un 'Taller de Modelación Matemática' realizado en el CECyT Wilfrido Massieu, se encontraba 'Epifanía'.
En 'Epifanía' se pide a los estudiantes que construyan la gráfica del movimiento de una persona que se aleja de un punto de partida hasta 500 metros, para luego regresar y sólo dispone de nueve minutos. Pero durante dicho trayecto se detiene cuatro minutos
Suárez et al (2005)* describen así las actividades de graficación - modelación en la realización de 'Epifanía':
Tres actividades para analizar una situación de movimiento a través de:
- Proponer un modelo gráfico: se pide diseñar una gráfica que describa los cambios de posición de un una persona que realiza el movimiento descrito. En el momento de realizar esta tarea se toman decisiones: las variables que intervienen, la escala de la gráfica y las distancias recorridas en distintos instantes.
- Realizar una simulación: se pide simular el movimiento frente al sensor para obtener la gráfica estipulada. El movimiento se adapta al alcance del sensor. A partir de múltiples realizaciones se establecen relaciones entre las características del movimiento y los diversos comportamientos gráficos obtenidos en la calculadora.
- Efectuar un contraste entre el modelo gráfico y la situación: se pide ajustar el modelo gráfico original dando cuenta de la situación planteada.
Se esperan de los estudiantes múltiples realizaciones en la simulación del movimiento en las que tomen decisiones sobre las características que se varían en la situación para la obtención de distintas gráficas.
*Suárez, L.; Flores, C.; Gómez, A.; Licona, R. (2005). Uso de las gráficas a través de actividades de modelación matemática con calculadoras y dispositivos transductores. Resumen del taller aprobado para su presentación en el Quinto Encuentro de Tecnología Educativa del IPN.
lunes, 10 de septiembre de 2007
sábado, 8 de septiembre de 2007
El granjero CAA 01
Hay una primera caracterización de 'El granjero'.
Se puede descargar de:
http://public.bscw.de/bscw/bscw.cgi/d87253983/El%20granjero%20CAA.zip
Se puede descargar de:
http://public.bscw.de/bscw/bscw.cgi/d87253983/El%20granjero%20CAA.zip
Epifanía CAA 01
Hay una primera caracterización de 'Epifanía'.
Se puede descargar de:
http://public.bscw.de/bscw/bscw.cgi/d87253978/Epifan%c3%ada%20CAA.zip
Se puede descargar de:
http://public.bscw.de/bscw/bscw.cgi/d87253978/Epifan%c3%ada%20CAA.zip
El granjero Solución 01
El granjero
La casa de un granjero está a 150 m de un camino recto. Su buzón está sujeto al granero, a 100 m de la casa y a 90 m del camino. Cada lunes deja la basura a la orilla del camino y después pasa a recoger el correo. ¿Qué punto del camino hace que su recorrido sea el más corto?
Solución 01
Este problema se discute ampliamente en el artículo de Paul Ernest La enseñanza de las Matemáticas por medio del enfoque de resolución de problemas. Aquí nos concentraremos en la forma en que se usa la idea de lugar geométrico en la construcción de un modelo geométrico con un paquete de geometría dinámica para obtener una solución del problema con las herramientas del paquete.
La solución se puede descargar de:
http://public.bscw.de/bscw/bscw.cgi/d87253924/El%20granjero%20Sol.zip
La casa de un granjero está a 150 m de un camino recto. Su buzón está sujeto al granero, a 100 m de la casa y a 90 m del camino. Cada lunes deja la basura a la orilla del camino y después pasa a recoger el correo. ¿Qué punto del camino hace que su recorrido sea el más corto?
Solución 01
Este problema se discute ampliamente en el artículo de Paul Ernest La enseñanza de las Matemáticas por medio del enfoque de resolución de problemas. Aquí nos concentraremos en la forma en que se usa la idea de lugar geométrico en la construcción de un modelo geométrico con un paquete de geometría dinámica para obtener una solución del problema con las herramientas del paquete.
La solución se puede descargar de:
http://public.bscw.de/bscw/bscw.cgi/d87253924/El%20granjero%20Sol.zip
El granjero Enunciado
El granjero
La casa de un granjero está a 150 m de un camino recto. Su buzón está sujeto al granero, a 100 m de la casa y a 90 m del camino. Cada lunes deja la basura a la orilla del camino y después pasa a recoger el correo. ¿Qué punto del camino hace que su recorrido sea el más corto?
La casa de un granjero está a 150 m de un camino recto. Su buzón está sujeto al granero, a 100 m de la casa y a 90 m del camino. Cada lunes deja la basura a la orilla del camino y después pasa a recoger el correo. ¿Qué punto del camino hace que su recorrido sea el más corto?
Epifanía Enunciado 2
Epifanía
Valentina llegó temprano a su clase de música. A punto estaba de sentarse cuando advirtió, disgustada, que había olvidado su cuaderno en su refugio predilecto: la siempre cómoda y acogedora biblioteca. No podía perderse el comienzo de la clase, así que corrió a la biblioteca, cogió su cuaderno y, corriendo también, regresó a su asiento, a tiempo para comenzar su, muy probablemente disfrutable, clase de música. Pero en el camino se encontró a su bienamado Juan y se detuvo a intercambiar algunas muestras de su muy auténtico cariño, lo que le llevó 4 minutos, pero de los largos. La biblioteca está en un punto diametralmente opuesto del salón de clases de Valentina en el patio circular, que tiene 500 metros de diámetro, de la escuela. Valentina tardó, en total, 9 minutos.
a) Construye una gráfica que describa los cambios de posición de Valentina en su trayecto de ida y vuelta con respecto al tiempo.
b) Todos hemos escuchado, o hecho, descripciones de objetos en movimiento, que incluyen expresiones como «detenido», «rápido», «lento», «más rápido», «disminuyó su velocidad», «más alejado», «aceleró más» y muchas otras que seguramente te han asaltado la memoria. Identifica en la gráfica algunas partes con estas expresiones y describe las características de la gráfica que les corresponden.
c) Ahora convengamos en que la velocidad de Valentina es positiva cuando se dirige a la biblioteca y negativa en sentido contrario. Identifica en la gráfica intervalos en los que la velocidad sea positiva, negativa o nula, y describe las características de la gráfica. Al igual que en el párrafo anterior, introduce matices en la descripción de la velocidad y anota las características correspondientes de la gráfica.
Valentina llegó temprano a su clase de música. A punto estaba de sentarse cuando advirtió, disgustada, que había olvidado su cuaderno en su refugio predilecto: la siempre cómoda y acogedora biblioteca. No podía perderse el comienzo de la clase, así que corrió a la biblioteca, cogió su cuaderno y, corriendo también, regresó a su asiento, a tiempo para comenzar su, muy probablemente disfrutable, clase de música. Pero en el camino se encontró a su bienamado Juan y se detuvo a intercambiar algunas muestras de su muy auténtico cariño, lo que le llevó 4 minutos, pero de los largos. La biblioteca está en un punto diametralmente opuesto del salón de clases de Valentina en el patio circular, que tiene 500 metros de diámetro, de la escuela. Valentina tardó, en total, 9 minutos.
a) Construye una gráfica que describa los cambios de posición de Valentina en su trayecto de ida y vuelta con respecto al tiempo.
b) Todos hemos escuchado, o hecho, descripciones de objetos en movimiento, que incluyen expresiones como «detenido», «rápido», «lento», «más rápido», «disminuyó su velocidad», «más alejado», «aceleró más» y muchas otras que seguramente te han asaltado la memoria. Identifica en la gráfica algunas partes con estas expresiones y describe las características de la gráfica que les corresponden.
c) Ahora convengamos en que la velocidad de Valentina es positiva cuando se dirige a la biblioteca y negativa en sentido contrario. Identifica en la gráfica intervalos en los que la velocidad sea positiva, negativa o nula, y describe las características de la gráfica. Al igual que en el párrafo anterior, introduce matices en la descripción de la velocidad y anota las características correspondientes de la gráfica.
Epifanía Enunciado 1
Epifanía
“Valentina llegó temprano a su clase de música. A punto estaba de sentarse cuando advirtió que había olvidado su cuaderno en su refugio predilecto: la siempre cómoda y acogedora biblioteca. No podía perderse el comienzo de la clase, así que fue a la biblioteca, cogió su cuaderno y regresó a su asiento, a tiempo para comenzar su, probablemente disfrutable, clase de música. Pero en el camino se encontró a su bienamado Juan y se detuvo a intercambiar algunas muestras de su muy auténtico cariño, lo que le llevó 4 minutos, pero de los largos, y la obligó luego a recuperar estos instantes, tan bien aprovechados, porque cuando salió del salón no previó la Epifanía”.
La biblioteca está en un punto diametralmente opuesto del salón de música en el patio circular, que tiene 500 metros de diámetro, de la escuela. Valentina tardó en total 9 minutos.
Construye una gráfica que describa los cambios de posición de Valentina en su trayecto de ida y vuelta con respecto al tiempo.
“Valentina llegó temprano a su clase de música. A punto estaba de sentarse cuando advirtió que había olvidado su cuaderno en su refugio predilecto: la siempre cómoda y acogedora biblioteca. No podía perderse el comienzo de la clase, así que fue a la biblioteca, cogió su cuaderno y regresó a su asiento, a tiempo para comenzar su, probablemente disfrutable, clase de música. Pero en el camino se encontró a su bienamado Juan y se detuvo a intercambiar algunas muestras de su muy auténtico cariño, lo que le llevó 4 minutos, pero de los largos, y la obligó luego a recuperar estos instantes, tan bien aprovechados, porque cuando salió del salón no previó la Epifanía”.
La biblioteca está en un punto diametralmente opuesto del salón de música en el patio circular, que tiene 500 metros de diámetro, de la escuela. Valentina tardó en total 9 minutos.
Construye una gráfica que describa los cambios de posición de Valentina en su trayecto de ida y vuelta con respecto al tiempo.
El progreso del peregrino CAA 01
Hay una primera caracterización de 'El progreso del peregrino'.
Se puede descargar de:
http://public.bscw.de/bscw/bscw.cgi/d87252700/El%20progreso%20del%20peregrino%20CAA.zip
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El progreso del peregrino Solución 01
Hay una primera solución de 'El progreso del peregrino'
Se puede descargar de:
http://public.bscw.de/bscw/bscw.cgi/d87250911/El%20progreso%20del%20peregrino%20Sol.zip
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El progreso del peregrino Enunciado
El progreso del peregrino
Enunciado
La posición inicial del triángulo equilátero ABP, de lado a, se muestra en la figura. El triángulo se mueve, girando con respecto a uno de sus vértices, en el sentido positivo convencional, dentro del cuadrado ACDE, de lado 2a.
Enunciado
La posición inicial del triángulo equilátero ABP, de lado a, se muestra en la figura. El triángulo se mueve, girando con respecto a uno de sus vértices, en el sentido positivo convencional, dentro del cuadrado ACDE, de lado 2a.
Calcula la longitud del recorrido que hace el punto P desde su posición inicial hasta que el mismo punto P vuelve a ocupar exactamente su posición original.
jueves, 6 de septiembre de 2007
Racha de cinco Enunciado
Racha de cinco
Es común escuchar a comentaristas y jugadores de futbol decir que cuando se enfrentan dos equipos ambos tienen las mismas oportunidades de ganar.
“La Copa Tolteca” es un torneo de reciente creación en la cual participan 12 equipos, cada uno de los cuales juega cinco partidos Supongamos que se juega un torneo corto en el cual cada equipo juega cinco partidos en los que no hay empates (es decir, siempre un equipo gana y otro pierde). Luego, los dos mejores, juegan la final.
Supón que cada uno de los equipos participantes tiene la misma oportunidad de ganar o perder.
a) Imagínate que un equipo participa 100 veces en este torneo, haz una estimación de en cuantas ocasiones ganará 0, 1, 2, 3, 4 y 5 de esos partidos.
b) Haz una simulación de esas 100 participaciones en el torneo y compara lo que obtienes con la estimación que hiciste.
Es común escuchar a comentaristas y jugadores de futbol decir que cuando se enfrentan dos equipos ambos tienen las mismas oportunidades de ganar.
“La Copa Tolteca” es un torneo de reciente creación en la cual participan 12 equipos, cada uno de los cuales juega cinco partidos Supongamos que se juega un torneo corto en el cual cada equipo juega cinco partidos en los que no hay empates (es decir, siempre un equipo gana y otro pierde). Luego, los dos mejores, juegan la final.
Supón que cada uno de los equipos participantes tiene la misma oportunidad de ganar o perder.
a) Imagínate que un equipo participa 100 veces en este torneo, haz una estimación de en cuantas ocasiones ganará 0, 1, 2, 3, 4 y 5 de esos partidos.
b) Haz una simulación de esas 100 participaciones en el torneo y compara lo que obtienes con la estimación que hiciste.
Actividades de Probabilidad y Estadística con Tecnologías de la Información y la Comunicación
Actividades de Probabilidad y Estadística con Tecnologías de la Información y la Comunicación
José Luis Torres Guerrero, CECyT Cuauhtémoc del IPN
Liliana Suárez Téllez, Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del IPN
Pedro Ortega Cuenca, Centro de Tecnología Educativa del IPN
María Eugenia Ramírez Solís, CECyT Luis Enrique Erro del IPN
Blanca R. Ruiz Hernández, ITESM – Campus Monterrey
Adriana Gómez Reyes, CECyT Ricardo Flores Magón del IPN
Claudia Flores Estrada, CECyT Benito Juárez del IPN
Citlali Yacapantli Servín Martínez, Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del IPN
Planteamiento
Con la finalidad de contribuir a la actualización y profesionalización docente en el Instituto Politécnico Nacional y tomando en cuenta los Paquetes Didácticos de Matemáticas, se ha diseñado e implementado el “Taller con Actividades de Aprendizaje de Probabilidad y Estadística con uso de Tecnologías de la Información y la Comunicación” (APETIC) en el que se discuten algunos resultados de investigación en Educación Estadística, asociados a una red de actividades para que los profesores participantes (del nivel medio superior y superior), diseñen, organicen e instrumenten actividades y planes de clase en los que utilizan las Tecnologías de Información y Comunicación (TIC), particularmente de calculadoras, editores de datos y programas de estadística dinámica. Uno de los objetivos de largo alcance del taller APETIC es la conformación de una Comunidad para la realización de innovación e investigación en Educación Estadística que tome en cuenta los estados del conocimiento de la disciplina.
Marco teórico
El diseño del taller se basa en la caracterización que se hace de las actividades de aprendizaje (AA) que integran las redes y secuencias de aprendizaje del ‘Paquete Didáctico del Curso de Probabilidad y Estadística’ del Bachillerato del Instituto Politécnico Nacional (IPN) de México (Suárez, Ortega, Servín, Téllez y Torres, 2005). Se toma de referencia para el diseño de las AA ‘Un Marco para la elección de Problemas’ (Alarcón, 1995). También se consideran los resultados de la investigación en Educación Estadística (Batanero, 2001), particularmente los relativos al uso de la modelación y la simulación en la resolución de problemas de probabilidad para confrontar y superar las intuiciones primarias en algunos conceptos y teoremas importantes, como la probabilidad condicional, el teorema del límite central y la distribución teórica, entre otros. Se han seleccionado AA que tratan conceptos, tanto de probabilidad como de estadística, que pueden simularse utilizando diversas herramientas tecnológicas en algún programa de Estadística Dinámica. Se eligieron programas de Estadística Dinámica porque permiten representar y manipular objetos matemáticos, así como sus relaciones, utilizando animaciones y otras herramientas propias del programa, que ayudan a la mejor comprensión de los conceptos y procesos involucrados.
Metodología
La caracterización de AA permite constituir redes de actividades que se interrelacionan entre sí por sus objetivos curriculares o porque una de ellas es generadora de otras.; una de estas redes está relacionada con la lectura ‘El método de simulación de Montecarlo’ (Montecarlo) de John Allen Paulos (1993, pp 166-168). A partir de ella se discuten algunos resultados de investigación en Educación Estadística, en particular sobre conceptos de estadística descriptiva, aunque también se pueden definir objetivos sobre probabilidad dependiendo del nivel educativo para el que se diseñe. En el taller se invita a que los profesores participantes, a partir de la realización de las AA como discentes y de su reflexión como docentes, diseñen, organicen e instrumenten actividades y planes de clase en los que utilicen las TIC, formando comunidades de aprendizaje, virtuales o presenciales, que integren adecuadamente estas tecnologías en su práctica docente para mejorar la comprensión y el uso de las ideas de la probabilidad y la estadística.
El objetivo del taller APETIC no es sólo proporcionar al profesor redes de actividades y materiales sobre los que él tenga que decidir y planear para definir secuencias que ponga en práctica en su propio curso, sino también discutir justificaciones y documentos que aporten herramientas que le faciliten la planeación de un curso.
La historia del problema está constituida principalmente por la caracterización de la actividad, las soluciones del problema y un comentario didáctico. La caracterización clasifica a la actividad de acuerdo a su modalidad de trabajo y experiencia de aprendizaje, herramientas tecnológicas, representaciones y estrategias en el proceso de solución, el producto esperado y la evaluación. De las soluciones posibles del problema, se prefiere la que se llama ‘de referencia’, que es la más congruente con los objetivos planteados, sin dejar de lado otras soluciones. El comentario didáctico de la actividad se refiere al objetivo del problema en términos de las posibles soluciones, a las distintas vías que puede seguir un estudiante para avanzar en la solución de la actividad con la aplicación de las estrategias correspondientes y describe la articulación de las representaciones. El comentario también apunta algunas sugerencias para la interacción con los estudiantes durante la realización de la actividad y para la discusión de las soluciones que se hace con todo el grupo. La historia del problema es abierta y acumulativa, el trabajo sucesivo irá conformando historias de problemas, en particular, y de actividades, en general, que se robustecerán cada vez que un profesor las trabaje en clase y registre en un blog colectivo los resultados de su experiencia. Esta labor se realiza mejor aprovechando las comunidades de aprendizaje y la red de interacción académica en internet.
La discusión de la práctica docente del profesor se enfoca y orienta alrededor de las actividades de aprendizaje, que constituyen el núcleo de reflexión del taller APETIC. Las actividades pueden girar alrededor de problemas, problemas guiados, proyectos, lecturas o ejercicios. Su elección se ha realizado por la potencia que proporcionan para representar y manipular objetos matemáticos, así como sus relaciones. Se reconoce el grado de dificultad que existe para comprender conceptos como muestreo, variable aleatoria, probabilidad, funciones probabilísticas y se opta por las actividades que permiten la exploración y el descubrimiento de conceptos y principios, que de otro modo serían mucho más abstractos. Las actividades de una red se interrelacionan entre sí por sus objetivos curriculares o porque una de ellas es generadora de otras. Por ejemplo, un problema o una lectura engendran otro problema. Así se constituyen las redes de actividades de aprendizaje que se vinculan desde perspectivas diferentes y que se pueden articular de varias maneras para cumplir diversos objetivos didácticos, o en distintos niveles cognitivos, dando como resultado la formación de secuencias de aprendizaje.
La red de actividades ‘El método de simulación como una estrategia didáctica’ consta de una lectura y cuatro problemas. Esta red surge a partir de ‘Montecarlo’, cuyo análisis y profundización engendra diversas preguntas que pueden concretarse en problemas. Los problemas son: ‘Racha de cinco’, ‘El basquetbolista’, ‘El varoncito’ y ‘Los amantes del metro Pino Suárez’. En su conjunto las cinco actividades tienen como objetivo principal el uso de la simulación para resolver un problema y para la comprensión de conceptos de estadística descriptiva, como la tabla de frecuencias, el histograma, algunas medidas de dispersión y de centralización, y de probabilidad, como la aleatoriedad y la probabilidad frecuencial pudiéndose llegar hasta la comparación de una distribución empírica con la distribución teórica.
‘Montecarlo’ es un artículo corto cuya lectura no toma más allá de 10 minutos, sin embargo su comprensión es complicada. La discusión alrededor de ella estará guiada por preguntas sobre los dos ejes principales de la lectura: el uso de la simulación para resolver problemas y las bondades y los pormenores del uso de un modelo matemático. Los estudiantes leen y comentan el artículo por equipo para responder las preguntas guía. Luego se pide exponer sus respuestas a uno o dos equipos. Las respuestas se entregan por escrito, aunque también se pide una disquisición verbal. La discusión que se suscita puede propiciar la simulación de las situaciones planteadas en la lectura con dados, una moneda o una tómbola. El profesor debe ir preparado para ello con material que lo haga posible. En esta primera fase es posible que las explicaciones de los estudiantes no alcancen el grado de profundidad deseado, sin embargo esta es sólo la primera fase y las preguntas planteadas en la lectura engendran problemas, que al ser analizados, dan una mejor comprensión del artículo. Para tener una mejor idea del grado de asimilación de nuestros estudiantes al realizar esta secuencia de actividades es recomendable volver a la lectura en un foro de discusión virtual al finalizar la secuencia. La discusión virtual facilita retomar las deliberaciones de los estudiantes en distintos momentos del curso, en donde el profesor crea que se ha añadido un punto a favor de la polémica. No olvidemos que en los niveles educativos que trabajamos, la probabilidad y la estadística generalmente utilizan nociones matemáticas y procedimientos gráficos fáciles de realizar, pero que aun los conceptos básicos dentro de estas ramas de la matemática generan controversias que no se han podido esclarecer. Las discusiones virtuales no sólo favorecen el debate sino también la disertación.
‘Racha de cinco’ es una versión más simple de ‘El basquetbolista’, descrito en ’Montecarlo’. Se define un modelo para simular un juego y luego el conjunto de juegos. Se hacen simulaciones físicas y después con programas informáticos, como Excel y Fathom. La simulación como una estrategia se convierte en un medio didáctico (para aprender los conceptos estadísticos deseados) y en una herramienta para resolver problemas. A partir de los casos generados se obtiene la tabla de frecuencias, el histograma y el polígono de frecuencias, se calculan los parámetros y se estiman las respuestas al problema.
La simulación realizada con ‘Racha de cinco’ familiariza al estudiante con la herramienta tecnológica para hacer la simulación de ‘El basquetbolista’ y enfrenta al estudiante con sus primeros conflictos conceptuales. Así por ejemplo, se observa una tendencia a la no comprensión de la instrucción ‘Si... entonces...’, sólo hasta después de haber gastado un tiempo con simulaciones físicas, algunos estudiantes se deciden a intentar comprenderla. Algo parecido ocurre con la construcción de la tabla de frecuencias con la opción ‘Contar... si...’ optan por el conteo manual hasta que notan la facilidad de hacerlo a través de esa instrucción. Las primeras dificultades conceptuales se observan al elaborar la tabla de frecuencias que no resulta tan simple si el estudiante no se ha dado cuenta de cuál es su variable de interés y del significado, en el contexto del problema de la frecuencia absoluta. El cálculo de los parámetros de interés (moda, media, mediana, desviación estándar, cuartiles y rango intercuartil) ofrece la dificultad de que el estudiante pierde de vista cuáles son sus datos, si los resultados de las simulaciones de cada juego, la suma de juegos ganados en un torneo o la frecuencia absoluta de un cierto número de juegos ganados en todos los torneos, de modo que no sabe sobre qué números calcular los parámetros. Este obstáculo se puede superar si se le ayuda a recapitular sobre el contexto del problema y el sentido de cada una de las columnas obtenidas. También es una buena oportunidad para confrontar los resultados y las formas de obtener los parámetros a través de la tabla de frecuencias y de la tabla de datos. Estos mismos tropiezos pueden volver a presentarse en la solución del problema de ‘El basquetbolista’, pero, indudablemente, a menor escala. En ambos problemas se pone en juego el cambio de registros y la interpretación e identificación de parámetros en distintas representaciones, lo que facilita la comprensión y apropiación de los conceptos.
Dos de los debates de mayor interés en ambos problemas se producen al comparar los resultados obtenidos por todos equipos. Es muy posible que algunos disten de lo obtenido por el grueso del grupo y que se comience a dudar de la legitimidad de esos datos. La discusión se debe desviar del resultado, a la comprobación de la aleatoriedad de ese resultado a través del proceso seguido para obtenerla. Esto enriquece el debate puesto que se discute uno de los aspectos distintivos del concepto (Batanero, 2001) y propicia traer a colación su acepción formal. La otra discusión se establece alrededor de la relación entre la probabilidad y la frecuencia relativa. Se cuestiona cuál de los resultados obtenidos es el valor real de la probabilidad y posteriormente cuál es el número de simulaciones que lo proporcionan. Los estudiantes suelen proponer sumar todos los datos obtenidos por los equipos para formar una sola secuencia con más simulaciones. Puede no ser una idea mala porque a medida que los datos se incrementan, con cada contribución de los equipos, se puede ir comentando el cambio ocasionado en la gráfica y los parámetros de la nueva distribución. Sin embargo hay que tener presente que si los equipos recurrieron a distintos métodos de simulación, éstos deben tener cierta compatibilidad para no incurrir en el error de mezclar datos que son distintos, generalmente el uso de un mismo programa computacional lo garantiza puesto que usa los mismos métodos aunque la interfaz con el usuario sea diferente. El efecto de observar el cambio en el modelo generado con mayores simulaciones también se logra si un equipo repite muchas veces su simulación, aunque se pierde la participación de todo el grupo. Según Fischbein (1975) la intuición sobre la frecuencia relativa se desarrolla como consecuencia de esta experiencia. La discusión sobre el valor real de la probabilidad se puede continuar con el problema de ‘El basquetbolista’ cuando el curso permita introducir la distribución binomial y se puedan comparar las distribuciones teórica y empírica obtenidas. Con esto también se añade un punto de enriquecimiento a la discusión de la simulación y la modelación. La comparación entre el modelo teórico y empírico se puede retomar en las siguientes actividades de la red.
Se pide al estudiante que entregue conjeturas por escrito antes de realizar cualquier cálculo o simulación para lograr una mejor educación de la intuición a través de la experiencia. En un principio, ellos hacen sus conjeturas casi sin ninguna resistencia, aunque erróneamente. Con la secuencia de AA su intuición va mejorando, aunque también tienden a razonar sus predicciones.
Resultados
Uno de los productos principales del taller es la historia de los problemas considerando su caracterización según el marco para la elección de problemas (Alarcón, 1995), las evidencias del trabajo de los estudiantes y la experiencia de los profesores en problemas de estructura similar. Este trabajo a profundidad con una actividad permite pasar después a la construcción de redes de problemas y secuencias de actividades aprovechando las historias desarrolladas por un conjunto de profesores.
Otros de los productos del taller son: un plan puntual para el desarrollo de algunas actividades de Probabilidad y Estadística, una red de actividades de aprendizaje (mínimo tres), un plan de las actividades que se realizarán con el uso de las TIC y la constitución de una red de profesores en la que se aprovechen las experiencias de la puesta en práctica de las actividades diseñadas.
Conclusiones
La red de actividades ‘El método de simulación como una estrategia didáctica’ surgió de la lectura de 'Montecarlo'. A partir de ella se engendran problemas que contribuyen al aprendizaje de conceptos estadísticos diversos, y al uso de la simulación como una estrategia didáctica. Los comentarios didácticos seleccionados son una parte de la historia de las actividades que muestran una visión del marco de trabajo que se propone en el taller APETIC y describen el trabajo del profesor y sus estudiantes al realizar estas actividades en una clase de Estadística. La disertación muestra la reacción de los estudiantes ante el uso de la tecnología en el salón de clases y ante la exigencia de usar el método de simulación en distintos momentos. También se ocupa de desglosar y comentar los objetivos didácticos de las actividades, a la vez que se destacan las respuestas de los estudiantes a los diferentes cuestionamientos y aporta sugerencias de los profesores que realizaron estas historias a nuevos profesores interesados en aplicarlas. Así mismo, los resultados se vinculan con algunos de los productos obtenidos en la investigación de Didáctica de la Probabilidad y la Estadística.
Desde nuestro marco metodológico, historiar las actividades es una forma de recapitular y de aprovechar la experiencia docente. Las primeras versiones de la historia de una actividad pueden ser muy rudimentarias, pero rápidamente las contribuciones de los profesores la convierten en un robusto conjunto de referencias de gran utilidad. Nuestra visión es la de un profesor interesado en una mejor organización y reflexión de su propia experiencia que se enriquece con la experiencia de otros profesores. Uno de nuestros principales objetivos es la conformación de una Comunidad interesada en la mejora de la práctica docente a partir de la comunicación e intercambio de información y conocimiento. Historiar las actividades constituye un buen ejemplo de cómo el quehacer de la comunidad profesional apoya y potencia el trabajo del individuo, por la oportunidad que brinda de organizar y reflexionar sobre los resultados obtenidos con nuestros estudiantes al tiempo que ofrece referencias a la actividad docente de otros profesores. En la historia de la actividad el profesor caracteriza las interacciones entre actividad-discente, docente-discente y entre discentes.
La necesidad del desarrollo de una cultura estadística (statical literacy), el razonamiento y el pensamiento estadístico tanto en profesores como en alumnos, así como el uso de las TIC en la modelación y simulación, que son esenciales en probabilidad y estadística, obliga a que se diseñen, organicen e implementen talleres como el descrito.
Referencias
AIM-NMS-IPN (2001). Proyecto ‘Paquetes Didácticos para los Cursos de Matemáticas’. México: AIM-NMS-IPN.
Alarcón, J. (1995). Notas del Seminario ‘Precálculo y Resolución de Problemas’ realizado en el DME-CINVESTAV-IPN.
Batanero, C. (2001). Didáctica de la Estadística. Granada: Grupo de Investigación en Educación Estadística.
Fischbein, E. (1975). The intuitive sources of probabilistic thinking in children. Dordrecht: Reidel Publishing Co.
Paulos, J. A. (1993). Más allá de los números. Barcelona: Tusquets.
Servín, C.; Suárez, L.; Ortega, P. (2005). Actividades de Probabilidad y Estadística con Tecnologías de la Información y de la Comunicación (APETIC). Resumen de cartel aceptado para su presentación en el Congreso Iberoamericano de Educación Matemática, 2005. Porto, Portugal.
Suárez, L.; Ortega, P.; Servín, Y.; Téllez, J.; Torres, J.L. (2005). Paquetes Didácticos de Matemáticas: Integración de la investigación y la innovación tecnológica. Memoria de Virtual Educa. México, D.F. 2005.
Suárez, L., Torres, J.L., Ortega, P., Daowz, P. y Ramírez, M.E. (2007). Hacia un marco para el diseño de contenidos digitales en matemáticas de bachillerato: de los paquetes didácticos a los repositorios de objetos de aprendizaje. Memorias del IV Seminario Nacional de Enseñanza de las Matemáticas a Distancia. Ciudad Guzmán, México, enero de 2007.
Tres palabras claves: Educación estadística, modelación, software de estadística dinámica.
José Luis Torres Guerrero, CECyT Cuauhtémoc del IPN
Liliana Suárez Téllez, Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del IPN
Pedro Ortega Cuenca, Centro de Tecnología Educativa del IPN
María Eugenia Ramírez Solís, CECyT Luis Enrique Erro del IPN
Blanca R. Ruiz Hernández, ITESM – Campus Monterrey
Adriana Gómez Reyes, CECyT Ricardo Flores Magón del IPN
Claudia Flores Estrada, CECyT Benito Juárez del IPN
Citlali Yacapantli Servín Martínez, Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del IPN
Planteamiento
Con la finalidad de contribuir a la actualización y profesionalización docente en el Instituto Politécnico Nacional y tomando en cuenta los Paquetes Didácticos de Matemáticas, se ha diseñado e implementado el “Taller con Actividades de Aprendizaje de Probabilidad y Estadística con uso de Tecnologías de la Información y la Comunicación” (APETIC) en el que se discuten algunos resultados de investigación en Educación Estadística, asociados a una red de actividades para que los profesores participantes (del nivel medio superior y superior), diseñen, organicen e instrumenten actividades y planes de clase en los que utilizan las Tecnologías de Información y Comunicación (TIC), particularmente de calculadoras, editores de datos y programas de estadística dinámica. Uno de los objetivos de largo alcance del taller APETIC es la conformación de una Comunidad para la realización de innovación e investigación en Educación Estadística que tome en cuenta los estados del conocimiento de la disciplina.
Marco teórico
El diseño del taller se basa en la caracterización que se hace de las actividades de aprendizaje (AA) que integran las redes y secuencias de aprendizaje del ‘Paquete Didáctico del Curso de Probabilidad y Estadística’ del Bachillerato del Instituto Politécnico Nacional (IPN) de México (Suárez, Ortega, Servín, Téllez y Torres, 2005). Se toma de referencia para el diseño de las AA ‘Un Marco para la elección de Problemas’ (Alarcón, 1995). También se consideran los resultados de la investigación en Educación Estadística (Batanero, 2001), particularmente los relativos al uso de la modelación y la simulación en la resolución de problemas de probabilidad para confrontar y superar las intuiciones primarias en algunos conceptos y teoremas importantes, como la probabilidad condicional, el teorema del límite central y la distribución teórica, entre otros. Se han seleccionado AA que tratan conceptos, tanto de probabilidad como de estadística, que pueden simularse utilizando diversas herramientas tecnológicas en algún programa de Estadística Dinámica. Se eligieron programas de Estadística Dinámica porque permiten representar y manipular objetos matemáticos, así como sus relaciones, utilizando animaciones y otras herramientas propias del programa, que ayudan a la mejor comprensión de los conceptos y procesos involucrados.
Metodología
La caracterización de AA permite constituir redes de actividades que se interrelacionan entre sí por sus objetivos curriculares o porque una de ellas es generadora de otras.; una de estas redes está relacionada con la lectura ‘El método de simulación de Montecarlo’ (Montecarlo) de John Allen Paulos (1993, pp 166-168). A partir de ella se discuten algunos resultados de investigación en Educación Estadística, en particular sobre conceptos de estadística descriptiva, aunque también se pueden definir objetivos sobre probabilidad dependiendo del nivel educativo para el que se diseñe. En el taller se invita a que los profesores participantes, a partir de la realización de las AA como discentes y de su reflexión como docentes, diseñen, organicen e instrumenten actividades y planes de clase en los que utilicen las TIC, formando comunidades de aprendizaje, virtuales o presenciales, que integren adecuadamente estas tecnologías en su práctica docente para mejorar la comprensión y el uso de las ideas de la probabilidad y la estadística.
El objetivo del taller APETIC no es sólo proporcionar al profesor redes de actividades y materiales sobre los que él tenga que decidir y planear para definir secuencias que ponga en práctica en su propio curso, sino también discutir justificaciones y documentos que aporten herramientas que le faciliten la planeación de un curso.
La historia del problema está constituida principalmente por la caracterización de la actividad, las soluciones del problema y un comentario didáctico. La caracterización clasifica a la actividad de acuerdo a su modalidad de trabajo y experiencia de aprendizaje, herramientas tecnológicas, representaciones y estrategias en el proceso de solución, el producto esperado y la evaluación. De las soluciones posibles del problema, se prefiere la que se llama ‘de referencia’, que es la más congruente con los objetivos planteados, sin dejar de lado otras soluciones. El comentario didáctico de la actividad se refiere al objetivo del problema en términos de las posibles soluciones, a las distintas vías que puede seguir un estudiante para avanzar en la solución de la actividad con la aplicación de las estrategias correspondientes y describe la articulación de las representaciones. El comentario también apunta algunas sugerencias para la interacción con los estudiantes durante la realización de la actividad y para la discusión de las soluciones que se hace con todo el grupo. La historia del problema es abierta y acumulativa, el trabajo sucesivo irá conformando historias de problemas, en particular, y de actividades, en general, que se robustecerán cada vez que un profesor las trabaje en clase y registre en un blog colectivo los resultados de su experiencia. Esta labor se realiza mejor aprovechando las comunidades de aprendizaje y la red de interacción académica en internet.
La discusión de la práctica docente del profesor se enfoca y orienta alrededor de las actividades de aprendizaje, que constituyen el núcleo de reflexión del taller APETIC. Las actividades pueden girar alrededor de problemas, problemas guiados, proyectos, lecturas o ejercicios. Su elección se ha realizado por la potencia que proporcionan para representar y manipular objetos matemáticos, así como sus relaciones. Se reconoce el grado de dificultad que existe para comprender conceptos como muestreo, variable aleatoria, probabilidad, funciones probabilísticas y se opta por las actividades que permiten la exploración y el descubrimiento de conceptos y principios, que de otro modo serían mucho más abstractos. Las actividades de una red se interrelacionan entre sí por sus objetivos curriculares o porque una de ellas es generadora de otras. Por ejemplo, un problema o una lectura engendran otro problema. Así se constituyen las redes de actividades de aprendizaje que se vinculan desde perspectivas diferentes y que se pueden articular de varias maneras para cumplir diversos objetivos didácticos, o en distintos niveles cognitivos, dando como resultado la formación de secuencias de aprendizaje.
La red de actividades ‘El método de simulación como una estrategia didáctica’ consta de una lectura y cuatro problemas. Esta red surge a partir de ‘Montecarlo’, cuyo análisis y profundización engendra diversas preguntas que pueden concretarse en problemas. Los problemas son: ‘Racha de cinco’, ‘El basquetbolista’, ‘El varoncito’ y ‘Los amantes del metro Pino Suárez’. En su conjunto las cinco actividades tienen como objetivo principal el uso de la simulación para resolver un problema y para la comprensión de conceptos de estadística descriptiva, como la tabla de frecuencias, el histograma, algunas medidas de dispersión y de centralización, y de probabilidad, como la aleatoriedad y la probabilidad frecuencial pudiéndose llegar hasta la comparación de una distribución empírica con la distribución teórica.
‘Montecarlo’ es un artículo corto cuya lectura no toma más allá de 10 minutos, sin embargo su comprensión es complicada. La discusión alrededor de ella estará guiada por preguntas sobre los dos ejes principales de la lectura: el uso de la simulación para resolver problemas y las bondades y los pormenores del uso de un modelo matemático. Los estudiantes leen y comentan el artículo por equipo para responder las preguntas guía. Luego se pide exponer sus respuestas a uno o dos equipos. Las respuestas se entregan por escrito, aunque también se pide una disquisición verbal. La discusión que se suscita puede propiciar la simulación de las situaciones planteadas en la lectura con dados, una moneda o una tómbola. El profesor debe ir preparado para ello con material que lo haga posible. En esta primera fase es posible que las explicaciones de los estudiantes no alcancen el grado de profundidad deseado, sin embargo esta es sólo la primera fase y las preguntas planteadas en la lectura engendran problemas, que al ser analizados, dan una mejor comprensión del artículo. Para tener una mejor idea del grado de asimilación de nuestros estudiantes al realizar esta secuencia de actividades es recomendable volver a la lectura en un foro de discusión virtual al finalizar la secuencia. La discusión virtual facilita retomar las deliberaciones de los estudiantes en distintos momentos del curso, en donde el profesor crea que se ha añadido un punto a favor de la polémica. No olvidemos que en los niveles educativos que trabajamos, la probabilidad y la estadística generalmente utilizan nociones matemáticas y procedimientos gráficos fáciles de realizar, pero que aun los conceptos básicos dentro de estas ramas de la matemática generan controversias que no se han podido esclarecer. Las discusiones virtuales no sólo favorecen el debate sino también la disertación.
‘Racha de cinco’ es una versión más simple de ‘El basquetbolista’, descrito en ’Montecarlo’. Se define un modelo para simular un juego y luego el conjunto de juegos. Se hacen simulaciones físicas y después con programas informáticos, como Excel y Fathom. La simulación como una estrategia se convierte en un medio didáctico (para aprender los conceptos estadísticos deseados) y en una herramienta para resolver problemas. A partir de los casos generados se obtiene la tabla de frecuencias, el histograma y el polígono de frecuencias, se calculan los parámetros y se estiman las respuestas al problema.
La simulación realizada con ‘Racha de cinco’ familiariza al estudiante con la herramienta tecnológica para hacer la simulación de ‘El basquetbolista’ y enfrenta al estudiante con sus primeros conflictos conceptuales. Así por ejemplo, se observa una tendencia a la no comprensión de la instrucción ‘Si... entonces...’, sólo hasta después de haber gastado un tiempo con simulaciones físicas, algunos estudiantes se deciden a intentar comprenderla. Algo parecido ocurre con la construcción de la tabla de frecuencias con la opción ‘Contar... si...’ optan por el conteo manual hasta que notan la facilidad de hacerlo a través de esa instrucción. Las primeras dificultades conceptuales se observan al elaborar la tabla de frecuencias que no resulta tan simple si el estudiante no se ha dado cuenta de cuál es su variable de interés y del significado, en el contexto del problema de la frecuencia absoluta. El cálculo de los parámetros de interés (moda, media, mediana, desviación estándar, cuartiles y rango intercuartil) ofrece la dificultad de que el estudiante pierde de vista cuáles son sus datos, si los resultados de las simulaciones de cada juego, la suma de juegos ganados en un torneo o la frecuencia absoluta de un cierto número de juegos ganados en todos los torneos, de modo que no sabe sobre qué números calcular los parámetros. Este obstáculo se puede superar si se le ayuda a recapitular sobre el contexto del problema y el sentido de cada una de las columnas obtenidas. También es una buena oportunidad para confrontar los resultados y las formas de obtener los parámetros a través de la tabla de frecuencias y de la tabla de datos. Estos mismos tropiezos pueden volver a presentarse en la solución del problema de ‘El basquetbolista’, pero, indudablemente, a menor escala. En ambos problemas se pone en juego el cambio de registros y la interpretación e identificación de parámetros en distintas representaciones, lo que facilita la comprensión y apropiación de los conceptos.
Dos de los debates de mayor interés en ambos problemas se producen al comparar los resultados obtenidos por todos equipos. Es muy posible que algunos disten de lo obtenido por el grueso del grupo y que se comience a dudar de la legitimidad de esos datos. La discusión se debe desviar del resultado, a la comprobación de la aleatoriedad de ese resultado a través del proceso seguido para obtenerla. Esto enriquece el debate puesto que se discute uno de los aspectos distintivos del concepto (Batanero, 2001) y propicia traer a colación su acepción formal. La otra discusión se establece alrededor de la relación entre la probabilidad y la frecuencia relativa. Se cuestiona cuál de los resultados obtenidos es el valor real de la probabilidad y posteriormente cuál es el número de simulaciones que lo proporcionan. Los estudiantes suelen proponer sumar todos los datos obtenidos por los equipos para formar una sola secuencia con más simulaciones. Puede no ser una idea mala porque a medida que los datos se incrementan, con cada contribución de los equipos, se puede ir comentando el cambio ocasionado en la gráfica y los parámetros de la nueva distribución. Sin embargo hay que tener presente que si los equipos recurrieron a distintos métodos de simulación, éstos deben tener cierta compatibilidad para no incurrir en el error de mezclar datos que son distintos, generalmente el uso de un mismo programa computacional lo garantiza puesto que usa los mismos métodos aunque la interfaz con el usuario sea diferente. El efecto de observar el cambio en el modelo generado con mayores simulaciones también se logra si un equipo repite muchas veces su simulación, aunque se pierde la participación de todo el grupo. Según Fischbein (1975) la intuición sobre la frecuencia relativa se desarrolla como consecuencia de esta experiencia. La discusión sobre el valor real de la probabilidad se puede continuar con el problema de ‘El basquetbolista’ cuando el curso permita introducir la distribución binomial y se puedan comparar las distribuciones teórica y empírica obtenidas. Con esto también se añade un punto de enriquecimiento a la discusión de la simulación y la modelación. La comparación entre el modelo teórico y empírico se puede retomar en las siguientes actividades de la red.
Se pide al estudiante que entregue conjeturas por escrito antes de realizar cualquier cálculo o simulación para lograr una mejor educación de la intuición a través de la experiencia. En un principio, ellos hacen sus conjeturas casi sin ninguna resistencia, aunque erróneamente. Con la secuencia de AA su intuición va mejorando, aunque también tienden a razonar sus predicciones.
Resultados
Uno de los productos principales del taller es la historia de los problemas considerando su caracterización según el marco para la elección de problemas (Alarcón, 1995), las evidencias del trabajo de los estudiantes y la experiencia de los profesores en problemas de estructura similar. Este trabajo a profundidad con una actividad permite pasar después a la construcción de redes de problemas y secuencias de actividades aprovechando las historias desarrolladas por un conjunto de profesores.
Otros de los productos del taller son: un plan puntual para el desarrollo de algunas actividades de Probabilidad y Estadística, una red de actividades de aprendizaje (mínimo tres), un plan de las actividades que se realizarán con el uso de las TIC y la constitución de una red de profesores en la que se aprovechen las experiencias de la puesta en práctica de las actividades diseñadas.
Conclusiones
La red de actividades ‘El método de simulación como una estrategia didáctica’ surgió de la lectura de 'Montecarlo'. A partir de ella se engendran problemas que contribuyen al aprendizaje de conceptos estadísticos diversos, y al uso de la simulación como una estrategia didáctica. Los comentarios didácticos seleccionados son una parte de la historia de las actividades que muestran una visión del marco de trabajo que se propone en el taller APETIC y describen el trabajo del profesor y sus estudiantes al realizar estas actividades en una clase de Estadística. La disertación muestra la reacción de los estudiantes ante el uso de la tecnología en el salón de clases y ante la exigencia de usar el método de simulación en distintos momentos. También se ocupa de desglosar y comentar los objetivos didácticos de las actividades, a la vez que se destacan las respuestas de los estudiantes a los diferentes cuestionamientos y aporta sugerencias de los profesores que realizaron estas historias a nuevos profesores interesados en aplicarlas. Así mismo, los resultados se vinculan con algunos de los productos obtenidos en la investigación de Didáctica de la Probabilidad y la Estadística.
Desde nuestro marco metodológico, historiar las actividades es una forma de recapitular y de aprovechar la experiencia docente. Las primeras versiones de la historia de una actividad pueden ser muy rudimentarias, pero rápidamente las contribuciones de los profesores la convierten en un robusto conjunto de referencias de gran utilidad. Nuestra visión es la de un profesor interesado en una mejor organización y reflexión de su propia experiencia que se enriquece con la experiencia de otros profesores. Uno de nuestros principales objetivos es la conformación de una Comunidad interesada en la mejora de la práctica docente a partir de la comunicación e intercambio de información y conocimiento. Historiar las actividades constituye un buen ejemplo de cómo el quehacer de la comunidad profesional apoya y potencia el trabajo del individuo, por la oportunidad que brinda de organizar y reflexionar sobre los resultados obtenidos con nuestros estudiantes al tiempo que ofrece referencias a la actividad docente de otros profesores. En la historia de la actividad el profesor caracteriza las interacciones entre actividad-discente, docente-discente y entre discentes.
La necesidad del desarrollo de una cultura estadística (statical literacy), el razonamiento y el pensamiento estadístico tanto en profesores como en alumnos, así como el uso de las TIC en la modelación y simulación, que son esenciales en probabilidad y estadística, obliga a que se diseñen, organicen e implementen talleres como el descrito.
Referencias
AIM-NMS-IPN (2001). Proyecto ‘Paquetes Didácticos para los Cursos de Matemáticas’. México: AIM-NMS-IPN.
Alarcón, J. (1995). Notas del Seminario ‘Precálculo y Resolución de Problemas’ realizado en el DME-CINVESTAV-IPN.
Batanero, C. (2001). Didáctica de la Estadística. Granada: Grupo de Investigación en Educación Estadística.
Fischbein, E. (1975). The intuitive sources of probabilistic thinking in children. Dordrecht: Reidel Publishing Co.
Paulos, J. A. (1993). Más allá de los números. Barcelona: Tusquets.
Servín, C.; Suárez, L.; Ortega, P. (2005). Actividades de Probabilidad y Estadística con Tecnologías de la Información y de la Comunicación (APETIC). Resumen de cartel aceptado para su presentación en el Congreso Iberoamericano de Educación Matemática, 2005. Porto, Portugal.
Suárez, L.; Ortega, P.; Servín, Y.; Téllez, J.; Torres, J.L. (2005). Paquetes Didácticos de Matemáticas: Integración de la investigación y la innovación tecnológica. Memoria de Virtual Educa. México, D.F. 2005.
Suárez, L., Torres, J.L., Ortega, P., Daowz, P. y Ramírez, M.E. (2007). Hacia un marco para el diseño de contenidos digitales en matemáticas de bachillerato: de los paquetes didácticos a los repositorios de objetos de aprendizaje. Memorias del IV Seminario Nacional de Enseñanza de las Matemáticas a Distancia. Ciudad Guzmán, México, enero de 2007.
Tres palabras claves: Educación estadística, modelación, software de estadística dinámica.
El basquetbolista Comentarios 01
El basquetbolista
Un problema a partir de ‘El método de simulación de Montecarlo’ de John Allen Paulos
Como parte del comentario del problema, a continuación se presenta una guía para la realización de la actividad en una clase.
A partir de la lectura de ‘El método de simulación de Montecarlo’ se formula el problema junto con los alumnos. La atención se concentra en los dos primeros párrafos y en los cinco estadios de la simulación.
Parte I
· Se les pide que, en cinco minutos, escriban un enunciado basado en la situación del basquetbolista que precise tres preguntas, incluyendo la que se plantea en el texto.
· Para cada pregunta planteada se hace una conjetura y se registra por escrito (puede ser en tantos juegos de tantos).
· Identificar las partes de la simulación que proponen en el texto, conviene elaborar un diagrama de flujo.
· Establecer el modelo para la simulación utilizando los números aleatorios de la calculadora. Discutir las relaciones que hay entre la situación del basquetbolista y el modelo que sirve para hacer la simulación.
· Sugerencias para el registro de los resultados de cada juego en una tabla.
· Elaboración de distribuciones de frecuencias por equipos.
· Elaboración de una distribución de frecuencias que reúna los resultados de las simulaciones realizadas por todo el grupo.
· Responder las preguntas que se plantearon a partir de las tablas por equipo y de la tabla del grupo.
· Responder las preguntas que se plantearon a partir de las gráficas por equipo y de la gráfica del grupo.
· Formulación de nuevas preguntas que se puedan responder a partir de la información contenida en la distribución (tabla y gráfica).
· Identificación de algunas de las principales expresiones verbales y discusión de su significado en el contexto de la situación.
· Enunciados que incluyan ‘entre’, ‘más de’, ‘menos de’, ‘hasta’, ‘o más’, ‘o menos’, ‘por lo menos’, ‘a lo sumo’, ‘cuando menos’, ‘a lo mucho’, etc.
· Enunciados que traduzcan resultados de frecuencia absoluta a relativa y viceversa
Parte II
· A partir de una simulación realizada en Excel, en calculadora o en Fathom (10000 o más juegos simulados) se discuten las expresiones verbales identificadas.
· Los alumnos formulan preguntas y escogen a quienes tendrán que responderlas.
· Relacionar las preguntas con las gráficas: histograma, polígono de frecuencias y curva suavizada.
· Destacar la relación entre área y frecuencia.
· Escribir un enunciado que haga referencia a una situación distinta de la del basquetbolista pero que tenga el mismo modelo que se generó.
· Una extensión más del problema se puede orientar hacia preguntas en las que, conservando el número de tiros en el juego y el número de canastas cuya probabilidad se quiere averiguar, varíe la probabilidad del jugador de anotar una canasta. Se puede utilizar el modelo en la hoja de cálculo para obtener los valores correspondientes a probabilidades que vayan desde 0 hasta 1 en incrementos de 0.1 y estudiar el patrón de la relación que hay entre la probabilidad de anotar un tiro y la probabilidad de anotar 11 canastas en 20 tiros o algún otro suceso compuesto.
Un problema a partir de ‘El método de simulación de Montecarlo’ de John Allen Paulos
Como parte del comentario del problema, a continuación se presenta una guía para la realización de la actividad en una clase.
A partir de la lectura de ‘El método de simulación de Montecarlo’ se formula el problema junto con los alumnos. La atención se concentra en los dos primeros párrafos y en los cinco estadios de la simulación.
Parte I
· Se les pide que, en cinco minutos, escriban un enunciado basado en la situación del basquetbolista que precise tres preguntas, incluyendo la que se plantea en el texto.
· Para cada pregunta planteada se hace una conjetura y se registra por escrito (puede ser en tantos juegos de tantos).
· Identificar las partes de la simulación que proponen en el texto, conviene elaborar un diagrama de flujo.
· Establecer el modelo para la simulación utilizando los números aleatorios de la calculadora. Discutir las relaciones que hay entre la situación del basquetbolista y el modelo que sirve para hacer la simulación.
· Sugerencias para el registro de los resultados de cada juego en una tabla.
· Elaboración de distribuciones de frecuencias por equipos.
· Elaboración de una distribución de frecuencias que reúna los resultados de las simulaciones realizadas por todo el grupo.
· Responder las preguntas que se plantearon a partir de las tablas por equipo y de la tabla del grupo.
· Responder las preguntas que se plantearon a partir de las gráficas por equipo y de la gráfica del grupo.
· Formulación de nuevas preguntas que se puedan responder a partir de la información contenida en la distribución (tabla y gráfica).
· Identificación de algunas de las principales expresiones verbales y discusión de su significado en el contexto de la situación.
· Enunciados que incluyan ‘entre’, ‘más de’, ‘menos de’, ‘hasta’, ‘o más’, ‘o menos’, ‘por lo menos’, ‘a lo sumo’, ‘cuando menos’, ‘a lo mucho’, etc.
· Enunciados que traduzcan resultados de frecuencia absoluta a relativa y viceversa
Parte II
· A partir de una simulación realizada en Excel, en calculadora o en Fathom (10000 o más juegos simulados) se discuten las expresiones verbales identificadas.
· Los alumnos formulan preguntas y escogen a quienes tendrán que responderlas.
· Relacionar las preguntas con las gráficas: histograma, polígono de frecuencias y curva suavizada.
· Destacar la relación entre área y frecuencia.
· Escribir un enunciado que haga referencia a una situación distinta de la del basquetbolista pero que tenga el mismo modelo que se generó.
· Una extensión más del problema se puede orientar hacia preguntas en las que, conservando el número de tiros en el juego y el número de canastas cuya probabilidad se quiere averiguar, varíe la probabilidad del jugador de anotar una canasta. Se puede utilizar el modelo en la hoja de cálculo para obtener los valores correspondientes a probabilidades que vayan desde 0 hasta 1 en incrementos de 0.1 y estudiar el patrón de la relación que hay entre la probabilidad de anotar un tiro y la probabilidad de anotar 11 canastas en 20 tiros o algún otro suceso compuesto.
El varoncito Enunciado
El varoncito
Para valorar la utilidad de la simulación es bueno realizar una por uno mismo. (No te preocupes si no tienes computadora, no hace falta, basta con una moneda) Imagina que un gobierno sexista de un cierto país te contrata como asesor. Acaba de adoptar una política que obliga a las parejas a tener hijos hasta que les nazca el primer varón, momento en el que habrán de cesar de procrear. Lo que quieren saber los gobernantes de ese país es: ¿cuántos hijos tendrá la familia media como resultado de esta política? y ¿cuál será la distribución de los sexos? En vez de hacer una recopilación de datos estadísticos, para lo cual tendrían que transcurrir años, uno puede lanzar una moneda un número suficientemente grande veces para tener una muestra que nos permita hacer una estimación. Si interpretamos el sol como hombre (H) y el águila como mujer (M), uno lanza la moneda hasta que sale el primer sol y apunta el número de lanzamientos, esto es el número de hijos de la familia. La sucesión MMH corresponde a dos mujeres seguidas de un hombre, H corresponde a un hijo único hombre, etc. Se repite este procedimiento 100 ó 1000 veces para producir 100 ó 1000 «familias» y se calcula el número medio de hijos de cada familia y la distribución de los sexos. Puede que tú, y también los funcionarios del país, encuentren sorprendente la respuesta.
Conviene que leas ‘El método de simulación de Montecarlo’.
Aplica el modelo PER (Propósito, Estrategia, Resultado) a esta actividad de aprendizaje.
Para valorar la utilidad de la simulación es bueno realizar una por uno mismo. (No te preocupes si no tienes computadora, no hace falta, basta con una moneda) Imagina que un gobierno sexista de un cierto país te contrata como asesor. Acaba de adoptar una política que obliga a las parejas a tener hijos hasta que les nazca el primer varón, momento en el que habrán de cesar de procrear. Lo que quieren saber los gobernantes de ese país es: ¿cuántos hijos tendrá la familia media como resultado de esta política? y ¿cuál será la distribución de los sexos? En vez de hacer una recopilación de datos estadísticos, para lo cual tendrían que transcurrir años, uno puede lanzar una moneda un número suficientemente grande veces para tener una muestra que nos permita hacer una estimación. Si interpretamos el sol como hombre (H) y el águila como mujer (M), uno lanza la moneda hasta que sale el primer sol y apunta el número de lanzamientos, esto es el número de hijos de la familia. La sucesión MMH corresponde a dos mujeres seguidas de un hombre, H corresponde a un hijo único hombre, etc. Se repite este procedimiento 100 ó 1000 veces para producir 100 ó 1000 «familias» y se calcula el número medio de hijos de cada familia y la distribución de los sexos. Puede que tú, y también los funcionarios del país, encuentren sorprendente la respuesta.
Conviene que leas ‘El método de simulación de Montecarlo’.
Aplica el modelo PER (Propósito, Estrategia, Resultado) a esta actividad de aprendizaje.
El basquetbolista Enunciado
El basquetbolista
A partir de la lectura de ‘El método de simulación de Montecarlo’ escribe un enunciado basado en la situación del basquetbolista que precise tres preguntas, incluyendo la que se plantea en el texto (Sabemos que un determinado jugador de basquetbol encesta el 40 % de sus tiros. Si en un partido hace 20 tiros ¿cuál es la probabilidad de que enceste exactamente 11 veces?).
· Para cada pregunta planteada formula una conjetura, escríbela y entrega tus conjeturas al profesor antes de comenzar la solución del problema.
· Establece el modelo para la simulación de un tiro, primero, y de un juego, después, utilizando los números aleatorios de la calculadora o de Excel.
· Realiza la simulación de 100 juegos con 20 tiros en cada juego, registra los resultados en una tabla y responde las preguntas con los resultados que obtuviste de la simulación.
· Relaciona las preguntas con las gráficas: histograma, polígono de frecuencias y curva suavizada.
· Destaca la relación entre área y frecuencia.
· Escribe un enunciado que haga referencia a una situación distinta de la del basquetbolista pero que tenga el mismo modelo que se generó.
A partir de la lectura de ‘El método de simulación de Montecarlo’ escribe un enunciado basado en la situación del basquetbolista que precise tres preguntas, incluyendo la que se plantea en el texto (Sabemos que un determinado jugador de basquetbol encesta el 40 % de sus tiros. Si en un partido hace 20 tiros ¿cuál es la probabilidad de que enceste exactamente 11 veces?).
· Para cada pregunta planteada formula una conjetura, escríbela y entrega tus conjeturas al profesor antes de comenzar la solución del problema.
· Establece el modelo para la simulación de un tiro, primero, y de un juego, después, utilizando los números aleatorios de la calculadora o de Excel.
· Realiza la simulación de 100 juegos con 20 tiros en cada juego, registra los resultados en una tabla y responde las preguntas con los resultados que obtuviste de la simulación.
· Relaciona las preguntas con las gráficas: histograma, polígono de frecuencias y curva suavizada.
· Destaca la relación entre área y frecuencia.
· Escribe un enunciado que haga referencia a una situación distinta de la del basquetbolista pero que tenga el mismo modelo que se generó.
Voi che sapete... HAA Corte 01
Hay una primera versión de la HAA de 'Voi che sapete...', HAA Corte 01.
Se puede descargar de:
http://public.bscw.de/bscw/bscw.cgi/d87226352/Voi%20che%20sapete....zip
El documento HAA Corte 01 de 'Voi che sapete...' incluye:
ENUNCIADO
SOLUCIÓN
COMENTARIO
ORGANIZADORES
CARACTERIZACIÓN
METADATOS
Se puede descargar de:
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Ifigenia Cruel HAA Corte 01
Hay una primera versión de la HAA de 'Ifigenia Cruel' de Alfonso Reyes, HAA Corte 01.
Se puede descargar de:
http://public.bscw.de/bscw/bscw.cgi/d87226330/Ifigenia%20Cruel.zip
El documento HAA Corte 01 de 'Ifigenia Cruel' incluye:
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miércoles, 5 de septiembre de 2007
“Ifigenia Cruel” de Alfonso Reyes Enunciado
“Ifigenia Cruel” de Alfonso Reyes
En la gráfica se muestran los costos de edición y los ingresos por la venta de una edición facsimilar del poema dramático de Alfonso Reyes, "Ifigenia Cruel".
CUESTIONARIO
1. ¿Cuáles son los costos, los ingresos y la ganancia por producir y vender 0, 100, 200, 350, 550 y 600 ejemplares?
2. ¿Dentro de qué límites se debe mantener la oferta para obtener ganancias?
3. ¿Cuál debe ser la oferta para obtener el mayor ingreso?
4. ¿A cuánto ascienden los costos fijos de producción?
5. ¿Cuánto cuesta producir cada libro si no se consideran los costos fijos?
6. ¿Hay una ganancia máxima? Justifica tu respuesta. Si hay una ganancia máxima calcúlala.
7. ¿Cuál es la ecuación de los costos?
8. ¿Cuál es la ecuación de los ingresos?
7. ¿Cuál es la ecuación de la ganancia?
9. ¿Cuál es la ecuación de la ganancia?
10. Traza la gráfica de la ganancia en los mismos ejes.
11. Plantea tres preguntas sobre esta misma situación y respóndelas.
12. Si se reducen los costos, tanto el de producción da cada libro como los fijos, a $8500 y $120, respectivamente, ¿cuál es la ganancia máxima?
¡Oh mar que bebiste la tarde
hasta descubrir sus estrellas:
no lo sabías, y ya sabes
que los hombres se libran de ellas!
Alfonso Reyes
hasta descubrir sus estrellas:
no lo sabías, y ya sabes
que los hombres se libran de ellas!
Alfonso Reyes
En la gráfica se muestran los costos de edición y los ingresos por la venta de una edición facsimilar del poema dramático de Alfonso Reyes, "Ifigenia Cruel".
CUESTIONARIO
1. ¿Cuáles son los costos, los ingresos y la ganancia por producir y vender 0, 100, 200, 350, 550 y 600 ejemplares?
2. ¿Dentro de qué límites se debe mantener la oferta para obtener ganancias?
3. ¿Cuál debe ser la oferta para obtener el mayor ingreso?
4. ¿A cuánto ascienden los costos fijos de producción?
5. ¿Cuánto cuesta producir cada libro si no se consideran los costos fijos?
6. ¿Hay una ganancia máxima? Justifica tu respuesta. Si hay una ganancia máxima calcúlala.
7. ¿Cuál es la ecuación de los costos?
8. ¿Cuál es la ecuación de los ingresos?
7. ¿Cuál es la ecuación de la ganancia?
9. ¿Cuál es la ecuación de la ganancia?
10. Traza la gráfica de la ganancia en los mismos ejes.
11. Plantea tres preguntas sobre esta misma situación y respóndelas.
12. Si se reducen los costos, tanto el de producción da cada libro como los fijos, a $8500 y $120, respectivamente, ¿cuál es la ganancia máxima?
Voi che sapete... Enunciado
Voi che sapete...
Vosotras que sabéis, qué cosa es amor,
mujeres, ved si yo lo tengo en el corazón.
Aquello que yo siento, os diré,
es para mí nuevo, comprenderlo no sé.
Siento un afecto lleno de deseo,
que ahora es deleite, que ahora es martirio...
Querubín
Las bodas de Fígaro
(Mozart-Da Ponte)
Voi, che sapete che cosa e amor,
donne vedete, s'io l'ho nel cor.
Quello ch'io provo, vi ridiro,
e per me nuovo, capir nol so.
Sento un affetto pien di desir,
ch'ora e diletto, ch'ora e martir…
Cherubino
Le nozze di Figaro
(Mozart-Da Ponte)
Una compañía de discos estima que podrá vender siete mil álbumes de una nueva versión de “Le nozze di Figaro” de Mozart-Da Ponte a $290 cada álbum. Por cada reducción de $5 en el precio por álbum, calcula que venderá 300 álbumes más. A la compañía cada álbum le cuesta $95 y sus costos fijos son de $100000.
Encuentra el número de álbumes que darán a la compañía la ganancia máxima.
Encuentra el número de álbumes que darán a la compañía la ganancia máxima por cada peso invertido.
donne vedete, s'io l'ho nel cor.
Quello ch'io provo, vi ridiro,
e per me nuovo, capir nol so.
Sento un affetto pien di desir,
ch'ora e diletto, ch'ora e martir…
Cherubino
Le nozze di Figaro
(Mozart-Da Ponte)
Una compañía de discos estima que podrá vender siete mil álbumes de una nueva versión de “Le nozze di Figaro” de Mozart-Da Ponte a $290 cada álbum. Por cada reducción de $5 en el precio por álbum, calcula que venderá 300 álbumes más. A la compañía cada álbum le cuesta $95 y sus costos fijos son de $100000.
Encuentra el número de álbumes que darán a la compañía la ganancia máxima.
Encuentra el número de álbumes que darán a la compañía la ganancia máxima por cada peso invertido.
martes, 4 de septiembre de 2007
La historia de la actividad como objeto de aprendizaje para la docencia profesional en Matemáticas
La historia de la actividad como objeto de aprendizaje para la docencia profesional en Matemáticas
Liliana Suárez Téllez (Cinvestav-IPN, México), Blanca R. Ruiz Hernández (ITESM-Campus Monterrey, México), María Eugenia Ramírez Solís (CECyT 14-IPN, México), Pedro Ortega Cuenca (CECyT 11 y Centro de Tecnología Educativa-IPN, México) y José Luis Torres Guerrero (CECyT 7-IPN, México).
Resumen. La Historia de la Actividad (HA) es una de las herramientas del marco de los Paquetes Didácticos de Matemáticas (PDM) diseñada especialmente para que un docente se apoye en el trabajo de una comunidad profesional para lograr que la diversidad de estudiantes que conforman su grupo comprenda las matemáticas y aprenda a usarlas. La HA comprende la caracterización de la actividad, las soluciones posibles y un comentario didáctico. Como parte de los PDM se diseñaron unos Materiales Auxiliares para la Organización del Aprendizaje (MAPOA) que constituyen marcos de referencia compartidos, que se usan y comentan constantemente durante las experiencias de aprendizaje. En la medida en que docente y discente se familiaricen con ellos pueden llegar a constituir un lenguaje común, en el que se pueden expresar algunas de las dimensiones de aprendizaje más importantes. En términos generales, estos auxiliares concretan la expresión 'responsabilizarse de su aprendizaje' y contribuyen al logro de la autonomía del discente en la organización de su propio aprendizaje. La HA es abierta y acumulativa, aunque en determinados momentos se hacen cortes para organizar las experiencias y facilitar su consulta para la planeación de las sesiones que incluyan la actividad. Las HA se robustecerán cada vez que un profesor las trabaje en clase y registre en un blog colectivo los resultados de su experiencia. La HA como objeto de aprendizaje comprende, además de los metadatos generales, objetivos de aprendizaje, en este caso para el ejercicio profesional de la docencia, un contenido, el conocimiento de la disciplina desde una perspectiva pedagógica, unas actividades, la elaboración de la HA y criterios para evaluar si se han logrado los objetivos. Se ilustra con un ejemplo de HA.
1. Paquetes Didácticos de Matemáticas y un Repositorio de Objetos de Aprendizaje
En el diseño de actividades de aprendizaje en ambientes virtuales es preciso caracterizar el tránsito de la interacción[1] hacia la interactividad[2]. Y, en la medida de lo posible, preservar los espacios de interacción, ahora virtuales, entre discentes, docente y actividad. En las actividades que se incluyen en los PDM se considera una interacción bien definida para que se logren los complejos objetivos del currículo planeado, teniendo como marco los MAPOA. En los Objetos de Aprendizaje se habrá de explicitar la interacción necesaria, según el potencial de interactividad de los dispositivos, para lograr los mismos objetivos complejos. Una premisa es el uso de los resultados de la investigación siempre que sea pertinente.
Al adaptar el marco, con referentes de distintos niveles, se considera la formación de competencias como el punto de concurrencia de los diversos agentes que participan en el proyecto. Los MAPOA constituyen, entonces, una referencia explícita que es preciso compartir con el discente siempre que sea posible. Como aquí se trata de OA para docentes, éstos también tienen la oportunidad de usar los MAPOA en la organización de su aprendizaje. En este marco, es particularmente destacable, por su carácter de recurso común, el aprendizaje de estrategias, asociadas con un esquema de resolución de problemas, aunque hay estrategias de uso específico que se asocian con cierto tipo de actividades. Estas estrategias se organizan en un inventario de estrategias según criterios de uso y se caracterizan según los aprendizajes metacognitivos. También conviene destacar los tutoriales de algoritmos que se refieren a ideas potentes y aprendizajes facultadores asociados (inseparablemente) con algún tipo de Tecnología Educativa (TE). Además están, por supuesto, las actividades que se habían identificado en los PDM y que se redefinen en el contexto de los ROA. Vale la pena destacar que en todos los casos, las actividades de aprendizaje llevan asociado un foro, por su potencial de interacción, que define temas de discusión, relativos a la actividad, a los contenidos y a la organización de su aprendizaje, y permite que los discentes propongan temas de discusión. Los resultados de los análisis de estos foros se retoman en los foros de las HA.
En el ámbito institucional, el ROA del IPN es un sistema de gestión de contenidos multimedia que reúne los materiales educativos digitales de la comunidad politécnica para ser preservados, administrados y reutilizados por docentes y alumnos.
El ROA del IPN señala las características que deben cumplir los contenidos: 1) contar con una identificación clara para que puedan ser utilizados en diversos contextos educativos, 2) estar adecuadamente ensamblados para que puedan ser fácilmente reutilizables y 3) utilizar estándares ampliamente reconocidos para que puedan ser interoperables entre diferentes LMS (Learning Management System). Todo esto se logra siguiendo normas y recomendaciones internacionales que habilitan al ROA para que sus contenidos sean utilizables en otros países. Las recomendaciones que sigue este repositorio son las publicadas por ADL SCORM 1.2, patrón utilizado a nivel mundial por una gran cantidad de instituciones.
El ROA del IPN actualmente se encuentra en fase beta (CTE, 2007), incluye cinco categorías y varios rubros, como se puede advertir en la Figura 2, pero se está trabajando para liberarlo en breve.
Dentro de los resultados que ya se muestran en el ROA del IPN hay una serie de actividades que tienen sentido como redes para aprendizajes bien definidos.
2. Los Materiales Auxiliares para la Organización del Aprendizaje
Los MAPOA desempeñan un doble papel como un marco para la organización del aprendizaje, tanto del discente como del docente. El profesor, entonces los puede usar en su aprendizaje y tiene que incorporarlos en sus diseños para que los usen los estudiantes.
En el marco de las nuevas concepciones de educación donde lo fundamental es el proceso de aprendizaje, el logro de la autonomía y la atención a la diversidad, se requiere de un marco de referencia que dé sentido a la perspectiva integral del aprendizaje y a la formación y desarrollo de competencias para aprender a aprender. En este contexto los Materiales de Apoyo para la Organización del Aprendizaje (MAPOA) constituyen estos marcos de referencia compartidos, que se usan y comentan durante las experiencias de aprendizaje para que estudiantes y profesores (discentes y docentes) participen en la consolidación del aprendizaje integral, reconozcan las competencias a lograr y los aprendizajes involucrados.
En los MAPOA se proponen diversos auxiliares que consideran estrategias, procesos metodológicos, habilidades para el manejo y transferencia de la información, recursos comunes, estrategias de uso específico para las matemáticas, así como recursos para la evaluación, autoevaluación y coevaluación. En términos generales los MAPOA contribuyen a la participación conciente y responsable del discente en el desarrollo y consolidación de competencias para su aprendizaje.
3. La planeación de una actividad
Las HA no sólo proporcionan al profesor redes de actividades y materiales para que escoja y planee secuencias que ponga en práctica en su propio curso, sino también cuentan con espacios para discutir justificaciones y documentos que aporten herramientas que le faciliten la planeación de un curso y de ejes a través de varios cursos. Las HA comprenden la caracterización de la actividad según el marco (Alarcón, 1995), las evidencias del trabajo de los estudiantes y la experiencia de los profesores en problemas de estructura similar. Este trabajo a profundidad con una actividad permitirá pasar después a la construcción de las redes de problemas y secuencias de actividades aprovechando las historias desarrolladas por un conjunto de profesores.
La caracterización clasifica a la actividad de acuerdo a la modalidad de trabajo y experiencia de aprendizaje, herramientas tecnológicas, representaciones y estrategias en el proceso de solución, el producto esperado y la evaluación. De las soluciones posibles del problema, se prefiere aquella que sea más congruente con los objetivos planteados y que llamamos ‘de referencia’, sin dejar de lado las variantes posibles a esa solución. El comentario didáctico de la actividad se refiere al objetivo del problema en términos de las posibles soluciones, a las distintas vías que puede seguir un estudiante para avanzar en la realización de la actividad con la aplicación de las estrategias correspondientes y describe la articulación de las representaciones. El comentario incluye algunas sugerencias para la interacción con los estudiantes durante la realización de la actividad y para la discusión de las soluciones que se hace con todo el grupo. Por supuesto, el trabajo sucesivo irá conformando historias de problemas, en particular, y de actividades, en general, que se robustecerán cada vez que un profesor las trabaje en clase. Estas historias se harán más detalladas y útiles en la medida en que podamos elaborar los documentos que la constituyen. Esta labor la podremos emprender mejor aprovechando las comunidades de aprendizaje y un blog en internet.
Figura 2. La planeación de una Actividad.
La HA es abierta y acumulativa, aunque en determinados momentos se hacen cortes para organizar las experiencias y facilitar su consulta para la planeación de las sesiones que incluyan la actividad. Las HA se robustecerán cada vez que un profesor las trabaje en clase y registre en un blog colectivo los resultados de su experiencia. La HA como objeto de aprendizaje comprende objetivos de aprendizaje, en este caso para el ejercicio profesional de la docencia, un contenido, el conocimiento de la disciplina desde una perspectiva pedagógica, unas actividades, la elaboración de la HA y criterios para evaluar si se han logrado los objetivos. Si, como afirma Chan, “el valor de los objetos de aprendizaje parece encontrarse en la posibilidad de armar unidades de aprendizaje de cualquier tamaño; una unidad dentro de un curso, o bien un curso entero, a partir del ensamblaje” (Chan, et al, 2006, 70), las HA como OA son, a su vez, una fuente para que un docente profesional diseñe OA para sus cursos de Matemáticas.
Figura 3. La Historia de una Actividad.
4. Un ejemplo: Una Red de Actividades para Estadística y Probabilidad
En el blog se tiene oportunidad de reflexionar sobre las actividades de aprendizaje, alrededor de las cuales se enfoca y encamina la discusión de la práctica docente del profesor. Las actividades pueden girar alrededor de problemas, problemas guiados, proyectos, lecturas o ejercicios. La elección de las actividades se ha realizado por la potencia que tienen para representar y manipular objetos matemáticos, así como sus relaciones. Se reconoce el grado de dificultad que existe para comprender conceptos como muestreo, variable aleatoria, probabilidad, funciones probabilísticas y se opta por estas actividades que permiten la exploración y el descubrimiento de conceptos y principios, que de otro modo serían mucho más abstractos. Regularmente ocurre que las actividades se interrelacionan entre sí por sus objetivos curriculares o porque una de ellas es generadora de otra u otras. Por ejemplo, en ocasiones un problema engendra otro problema, o una lectura engendra un problema. Así se constituyen las redes de actividades de aprendizaje que se vinculan desde perspectivas diferentes y que se pueden articular de varias maneras para cumplir diversos objetivos didácticos o en distintos niveles cognitivos, dando como resultado la formación de secuencias de aprendizaje.
La red de actividades ‘El método de simulación como una estrategia didáctica’ consta de una lectura y cuatro problemas. Esta red surge a partir del artículo ‘El método de simulación de Montecarlo’ (Paulos, 1993, pp 166-168), cuyo análisis y profundización engendra diversas preguntas que pueden concretarse en problemas. Hasta el momento, se han generado los problemas: ‘Racha de cinco’, ‘El basquetbolista’, ‘El varoncito’ y ‘Los amantes del metro Pino Suárez’. También incluimos la exploración y manipulación de la actividad ‘Probabilidad y azar’ (Nuñez, 2001) como una actividad complementaria. En su conjunto las seis actividades tienen como objetivo principal el uso de la simulación para resolver un problema y para la comprensión de conceptos de Estadística Descriptiva, como la tabla de frecuencias, el histograma, algunas medidas de dispersión y de centralización, y de probabilidad, como la aleatoriedad y la probabilidad frecuencial pudiéndose llegar hasta la comparación de una distribución empírica con la distribución teórica. En esta presentación, seleccionamos la lectura y dos de esos problemas (‘Racha de cinco’ y ‘El basquetbolista’) para ejemplificar los comentarios didácticos de las actividades que forman una de las secuencias posibles de esta red, aunque comentamos algunos resultados que se han obtenido en las otras actividades de la misma secuencia.
Una Lectura, Muchas Preguntas
‘El método de simulación de Montecarlo’ de John Allen Paulos (1993, pp 166-168) es un artículo corto, cuya lectura no toma más allá de 10 minutos, sin embargo su comprensión no es inmediata. La discusión alrededor de ella estará guiada por preguntas sobre los dos ejes principales de la lectura: el uso de la simulación para resolver problemas y las bondades y los pormenores del uso de un modelo matemático. Los estudiantes leen y comentan el artículo por equipo con el objetivo de responder las preguntas guía. Luego se pide exponer sus respuestas a uno o dos equipos. Las respuestas se entregan por escrito, aunque en el momento en que se exponen se pide un comentario oral. La discusión que se suscita puede propiciar la simulación de las situaciones planteadas en la lectura con dados, una moneda o una tómbola. El profesor debe ir preparado para ello con material que lo haga posible. En esta primera fase es posible que las explicaciones de los estudiantes no alcancen el grado de profundidad deseado, sin embargo ésta es sólo la primera fase y las preguntas planteadas en la lectura engendran problemas, que al ser analizados, dan una mejor comprensión del artículo. Para tener una mejor idea del grado de asimilación de nuestros estudiantes al realizar esta secuencia de actividades es recomendable volver a la lectura en un grupo de discusión virtual al finalizar la secuencia. La discusión virtual facilita retomar las deliberaciones de los estudiantes en distintos momentos del curso, en donde el profesor crea que se ha añadido un punto a favor de la polémica. Este tipo de discusiones ayudan a plasmar las ideas por escrito y a recapitular sobre ellas. No olvidemos que en los niveles educativos que trabajamos, la probabilidad y la estadística generalmente utilizan nociones matemáticas y procedimientos gráficos fáciles de realizar, pero que aun los conceptos básicos dentro de estas ramas de la matemática generan controversias que no se han podido esclarecer. Las discusiones virtuales no sólo favorecen el debate sino también la disertación.
Dos Problemas Secuenciados
‘Racha de cinco’ es una versión más simple de ‘El basquetbolista’, cuyo núcleo está descrito en la lectura de John Allen Paulos. En ‘Racha de cinco’ se trata de simular juegos de fútbol para analizar la probabilidad de que tu equipo favorito gane un torneo en el que se juegan cinco partidos, sólo con la posibilidad de perder o ganar. Esta simplificación facilita la simulación de la situación a través de lanzamientos de una moneda, con un dado o con una tómbola en el que haya más de dos opciones. Estas simulaciones físicas tienen el objetivo de abstraer los elementos básicos de la situación con la finalidad de extraer la información necesaria para llevar al estudiante al planteamiento de simulaciones con uso de tecnología puesto que se pide que se simulen 100 torneos. La herramienta tecnológica que se use dependerá de las que el profesor y los estudiantes tengan disponibles, aunque la situación didáctica cambia según as características de la herramienta. La generación de números aleatorios puede exigir una programación simple, a través de la condicional: ‘Si... entonces...’ o la definición de la distribución, algo que suena muy complicado, pero que en ocasiones es más simple que lo primero aunque da menos opción de dinamismo. Programas como Excel y Fathom pueden ofrecer ambas opciones, en cambio algunas calculadoras se remiten a la primera opción. La simulación como una estrategia se convierte en un medio didáctico (para aprender los conceptos estadísticos deseados) y en una herramienta para resolver problemas. A partir de los casos generados se obtiene la tabla de frecuencias, el histograma y el polígono de frecuencias, se calculan los parámetros y se estiman las respuestas al problema.
La simulación realizada con ‘Racha de cinco’ familiariza al estudiante con la herramienta tecnológica para hacer la simulación de ‘El basquetbolista’ y enfrenta al estudiante con sus primeros conflictos conceptuales. Así, por ejemplo, se observa una tendencia a la no comprensión de la instrucción ‘Si... entonces...’, sólo hasta después de haber gastado un tiempo con simulaciones físicas, algunos estudiantes se deciden a intentar comprenderla. Algo parecido ocurre con la construcción de la tabla de frecuencias con la opción ‘Contar... si...’ optan por el conteo manual hasta que notan la facilidad de hacerlo a través de esa instrucción. Las primeras dificultades conceptuales se observan al elaborar la tabla de frecuencias que no resulta tan simple si el estudiante no se ha dado cuenta de cuál es su variable de interés y del significado, en el contexto del problema de la frecuencia absoluta. El cálculo de los parámetros de interés (moda, media, mediana, desviación estándar, cuarteles y rango intercuartil) ofrece la dificultad de que el estudiante pierde de vista cuáles son sus datos, si los resultados de las simulaciones de cada juego, la suma de juegos ganados en un torneo o la frecuencia absoluta de un cierto número de juegos ganados en todos los torneos, de modo que no sabe sobre qué números calcular los parámetros. Este obstáculo se puede superar si se le ayuda a recapitular sobre el contexto del problema y el sentido de cada una de las columnas obtenidas. También es una buena oportunidad para confrontar los resultados y las formas de obtener los parámetros a través de la tabla de frecuencias y de la tabla de datos. Estos mismos tropiezos pueden volver a presentarse en la solución del problema de ‘El basquetbolista’, pero, muy probablemente, a menor escala. En ambos problemas se pone en juego el cambio de registros y la interpretación e identificación de parámetros en distintas representaciones, lo que facilita la comprensión y apropiación de los conceptos.
Dos de los debates de mayor interés en ambos problemas se producen al comparar los resultados obtenidos por todos equipos. Es muy posible que algunos disten de lo obtenido por el grueso del grupo y que se comience a dudar de la legitimidad de esos datos. La discusión se debe desviar del resultado propiamente a la comprobación de la aleatoriedad de ese resultado a través del proceso seguido para obtenerla. Esto enriquece el debate puesto que se discute uno de los aspectos distintivos del concepto (Batanero, 2001) y propicia traer a colación su acepción formal. La otra discusión se establece alrededor de la relación entre la probabilidad y la frecuencia relativa. Se cuestiona cuál de los resultados obtenidos es el valor real de la probabilidad y posteriormente cuál es el número de simulaciones que lo proporcionan. Los estudiantes pueden proponer sumar todos los datos obtenidos por los equipos para formar una sola secuencia con más simulaciones. Puede no ser una idea mala porque a medida que los datos se incrementan, con cada contribución de los equipos, se puede ir comentando el cambio ocasionado en la gráfica y los parámetros de la nueva distribución. Sin embargo hay que tener presente que si los equipos recurrieron a distintos métodos de simulación, éstos deben tener cierta compatibilidad para no incurrir en el error de mezclar datos que son distintos, generalmente el uso de un mismo programa computacional lo garantiza puesto que usa los mismos métodos aunque la interfaz con el usuario sea diferente. El efecto de observar el cambio en el modelo generado con mayores simulaciones también se logra si un equipo repite muchas veces su simulación, aunque se pierde la participación de todo el grupo. De acuerdo con Fischbein (1975) con esta estrategia se espera que la intuición sobre la frecuencia relativa se desarrolle como consecuencia de esta experiencia. La discusión sobre el valor real de la probabilidad se puede continuar con el problema de ‘El basquetbolista’ cuando el curso permita introducir la distribución binomial y se puedan comparar las distribuciones teórica y empírica obtenidas. Con esto también se añade un punto de enriquecimiento a la discusión de la simulación y la modelación.
La comparación entre el modelo teórico y empírico se puede retomar en las siguientes actividades de la secuencia, así por ejemplo, ‘El varoncito’ es un problema cuya simulación en un programa computacional es muy parecida a las actividades ya comentadas, pero cuya distribución es diferente. Así, los estudiantes pueden observar el comportamiento de una distribución distinta a la que esperaban y darse cuenta que, aunque desconocen el modelo teórico, pueden manipularla y calcular sus parámetros.
Para lograr una mejor educación de la intuición a través de la experiencia, es deseable que el estudiante entregue conjeturas por escrito antes de realizar cualquier cálculo o simulación. En un principio, generalmente, ellos hacen sus conjeturas muy espontáneamente y casi sin ninguna resistencia, pero muestran escasa intuición. Los valores de probabilidad que proponen son muy altos, aunque lo son menos en ‘El basquetbolista’ que en ‘Racha de cinco’. A medida que se desarrolla la secuencia de actividades su intuición va mejorando, aunque también se vuelven más prudentes y tienen el impulso de detenerse a razonar sus predicciones.
La Historia de la Actividad como Objeto de Aprendizaje permite al profesor generar planes muy detallados para realizar sesiones con objetivos bien definidos que consideren la diversidad de estudiantes y tengan altas probabilidades de lograr los objetivos de aprendizaje, gracias al trabajo sistemático de una comunidad profesional.
Referencias
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[1] Proceso que establece un usuario con un dispositivo, sistema u objeto determinado. Entre otros factores, en el diseño de interacción intervienen disciplinas como la usabilidad y la ergonomía. La usabilidad en español significa capacidad de uso, es decir, la característica que distingue a los objetos diseñados para su utilización de los que no. Sin embargo la acepción inglesa es más amplia y se refiere a la facilidad o nivel de uso, es decir, al grado en el que el diseño de un objeto facilita o dificulta su manejo. La ergonomía es un campo de conocimientos multidisciplinarios que estudia las características, necesidades, capacidades y habilidades de los seres humanos, analizando aquellos aspectos que afectan al entorno artificial construido por el hombre relacionado directamente con los actos y gestos involucrados en toda actividad de éste. (Interacción, Wikipedia, 2007).
[2] En el contexto de la comunicación entre ser humano y máquina, la interactividad se refiere al comportamiento interactivo del aparato tal como lo experimente el primero. Esto difiere de otros aspectos de la máquina tales como su apariencia visual, su forma de trabajo interna, o el significado de los signos que transmita. Los sistemas complejos que detectan y reaccionan a la conducta humana son frecuentemente denominados "interactivos". Bajo esta perspectiva, la interacción incluye respuestas a las actividades físicas humanas, por ejemplo el movimiento (lenguaje corporal) o al cambio en los estados psicológicos. (Interactividad, Wikipedia, 2007).
Liliana Suárez Téllez (Cinvestav-IPN, México), Blanca R. Ruiz Hernández (ITESM-Campus Monterrey, México), María Eugenia Ramírez Solís (CECyT 14-IPN, México), Pedro Ortega Cuenca (CECyT 11 y Centro de Tecnología Educativa-IPN, México) y José Luis Torres Guerrero (CECyT 7-IPN, México).
Resumen. La Historia de la Actividad (HA) es una de las herramientas del marco de los Paquetes Didácticos de Matemáticas (PDM) diseñada especialmente para que un docente se apoye en el trabajo de una comunidad profesional para lograr que la diversidad de estudiantes que conforman su grupo comprenda las matemáticas y aprenda a usarlas. La HA comprende la caracterización de la actividad, las soluciones posibles y un comentario didáctico. Como parte de los PDM se diseñaron unos Materiales Auxiliares para la Organización del Aprendizaje (MAPOA) que constituyen marcos de referencia compartidos, que se usan y comentan constantemente durante las experiencias de aprendizaje. En la medida en que docente y discente se familiaricen con ellos pueden llegar a constituir un lenguaje común, en el que se pueden expresar algunas de las dimensiones de aprendizaje más importantes. En términos generales, estos auxiliares concretan la expresión 'responsabilizarse de su aprendizaje' y contribuyen al logro de la autonomía del discente en la organización de su propio aprendizaje. La HA es abierta y acumulativa, aunque en determinados momentos se hacen cortes para organizar las experiencias y facilitar su consulta para la planeación de las sesiones que incluyan la actividad. Las HA se robustecerán cada vez que un profesor las trabaje en clase y registre en un blog colectivo los resultados de su experiencia. La HA como objeto de aprendizaje comprende, además de los metadatos generales, objetivos de aprendizaje, en este caso para el ejercicio profesional de la docencia, un contenido, el conocimiento de la disciplina desde una perspectiva pedagógica, unas actividades, la elaboración de la HA y criterios para evaluar si se han logrado los objetivos. Se ilustra con un ejemplo de HA.
1. Paquetes Didácticos de Matemáticas y un Repositorio de Objetos de Aprendizaje
En el diseño de actividades de aprendizaje en ambientes virtuales es preciso caracterizar el tránsito de la interacción[1] hacia la interactividad[2]. Y, en la medida de lo posible, preservar los espacios de interacción, ahora virtuales, entre discentes, docente y actividad. En las actividades que se incluyen en los PDM se considera una interacción bien definida para que se logren los complejos objetivos del currículo planeado, teniendo como marco los MAPOA. En los Objetos de Aprendizaje se habrá de explicitar la interacción necesaria, según el potencial de interactividad de los dispositivos, para lograr los mismos objetivos complejos. Una premisa es el uso de los resultados de la investigación siempre que sea pertinente.
Al adaptar el marco, con referentes de distintos niveles, se considera la formación de competencias como el punto de concurrencia de los diversos agentes que participan en el proyecto. Los MAPOA constituyen, entonces, una referencia explícita que es preciso compartir con el discente siempre que sea posible. Como aquí se trata de OA para docentes, éstos también tienen la oportunidad de usar los MAPOA en la organización de su aprendizaje. En este marco, es particularmente destacable, por su carácter de recurso común, el aprendizaje de estrategias, asociadas con un esquema de resolución de problemas, aunque hay estrategias de uso específico que se asocian con cierto tipo de actividades. Estas estrategias se organizan en un inventario de estrategias según criterios de uso y se caracterizan según los aprendizajes metacognitivos. También conviene destacar los tutoriales de algoritmos que se refieren a ideas potentes y aprendizajes facultadores asociados (inseparablemente) con algún tipo de Tecnología Educativa (TE). Además están, por supuesto, las actividades que se habían identificado en los PDM y que se redefinen en el contexto de los ROA. Vale la pena destacar que en todos los casos, las actividades de aprendizaje llevan asociado un foro, por su potencial de interacción, que define temas de discusión, relativos a la actividad, a los contenidos y a la organización de su aprendizaje, y permite que los discentes propongan temas de discusión. Los resultados de los análisis de estos foros se retoman en los foros de las HA.
En el ámbito institucional, el ROA del IPN es un sistema de gestión de contenidos multimedia que reúne los materiales educativos digitales de la comunidad politécnica para ser preservados, administrados y reutilizados por docentes y alumnos.
Figura 1. Repositorio de Objetos de Aprendizaje del IPN.
El ROA del IPN señala las características que deben cumplir los contenidos: 1) contar con una identificación clara para que puedan ser utilizados en diversos contextos educativos, 2) estar adecuadamente ensamblados para que puedan ser fácilmente reutilizables y 3) utilizar estándares ampliamente reconocidos para que puedan ser interoperables entre diferentes LMS (Learning Management System). Todo esto se logra siguiendo normas y recomendaciones internacionales que habilitan al ROA para que sus contenidos sean utilizables en otros países. Las recomendaciones que sigue este repositorio son las publicadas por ADL SCORM 1.2, patrón utilizado a nivel mundial por una gran cantidad de instituciones.
El ROA del IPN actualmente se encuentra en fase beta (CTE, 2007), incluye cinco categorías y varios rubros, como se puede advertir en la Figura 2, pero se está trabajando para liberarlo en breve.
Dentro de los resultados que ya se muestran en el ROA del IPN hay una serie de actividades que tienen sentido como redes para aprendizajes bien definidos.
2. Los Materiales Auxiliares para la Organización del Aprendizaje
Los MAPOA desempeñan un doble papel como un marco para la organización del aprendizaje, tanto del discente como del docente. El profesor, entonces los puede usar en su aprendizaje y tiene que incorporarlos en sus diseños para que los usen los estudiantes.
En el marco de las nuevas concepciones de educación donde lo fundamental es el proceso de aprendizaje, el logro de la autonomía y la atención a la diversidad, se requiere de un marco de referencia que dé sentido a la perspectiva integral del aprendizaje y a la formación y desarrollo de competencias para aprender a aprender. En este contexto los Materiales de Apoyo para la Organización del Aprendizaje (MAPOA) constituyen estos marcos de referencia compartidos, que se usan y comentan durante las experiencias de aprendizaje para que estudiantes y profesores (discentes y docentes) participen en la consolidación del aprendizaje integral, reconozcan las competencias a lograr y los aprendizajes involucrados.
En los MAPOA se proponen diversos auxiliares que consideran estrategias, procesos metodológicos, habilidades para el manejo y transferencia de la información, recursos comunes, estrategias de uso específico para las matemáticas, así como recursos para la evaluación, autoevaluación y coevaluación. En términos generales los MAPOA contribuyen a la participación conciente y responsable del discente en el desarrollo y consolidación de competencias para su aprendizaje.
3. La planeación de una actividad
Las HA no sólo proporcionan al profesor redes de actividades y materiales para que escoja y planee secuencias que ponga en práctica en su propio curso, sino también cuentan con espacios para discutir justificaciones y documentos que aporten herramientas que le faciliten la planeación de un curso y de ejes a través de varios cursos. Las HA comprenden la caracterización de la actividad según el marco (Alarcón, 1995), las evidencias del trabajo de los estudiantes y la experiencia de los profesores en problemas de estructura similar. Este trabajo a profundidad con una actividad permitirá pasar después a la construcción de las redes de problemas y secuencias de actividades aprovechando las historias desarrolladas por un conjunto de profesores.
La caracterización clasifica a la actividad de acuerdo a la modalidad de trabajo y experiencia de aprendizaje, herramientas tecnológicas, representaciones y estrategias en el proceso de solución, el producto esperado y la evaluación. De las soluciones posibles del problema, se prefiere aquella que sea más congruente con los objetivos planteados y que llamamos ‘de referencia’, sin dejar de lado las variantes posibles a esa solución. El comentario didáctico de la actividad se refiere al objetivo del problema en términos de las posibles soluciones, a las distintas vías que puede seguir un estudiante para avanzar en la realización de la actividad con la aplicación de las estrategias correspondientes y describe la articulación de las representaciones. El comentario incluye algunas sugerencias para la interacción con los estudiantes durante la realización de la actividad y para la discusión de las soluciones que se hace con todo el grupo. Por supuesto, el trabajo sucesivo irá conformando historias de problemas, en particular, y de actividades, en general, que se robustecerán cada vez que un profesor las trabaje en clase. Estas historias se harán más detalladas y útiles en la medida en que podamos elaborar los documentos que la constituyen. Esta labor la podremos emprender mejor aprovechando las comunidades de aprendizaje y un blog en internet.
Figura 2. La planeación de una Actividad.
La HA es abierta y acumulativa, aunque en determinados momentos se hacen cortes para organizar las experiencias y facilitar su consulta para la planeación de las sesiones que incluyan la actividad. Las HA se robustecerán cada vez que un profesor las trabaje en clase y registre en un blog colectivo los resultados de su experiencia. La HA como objeto de aprendizaje comprende objetivos de aprendizaje, en este caso para el ejercicio profesional de la docencia, un contenido, el conocimiento de la disciplina desde una perspectiva pedagógica, unas actividades, la elaboración de la HA y criterios para evaluar si se han logrado los objetivos. Si, como afirma Chan, “el valor de los objetos de aprendizaje parece encontrarse en la posibilidad de armar unidades de aprendizaje de cualquier tamaño; una unidad dentro de un curso, o bien un curso entero, a partir del ensamblaje” (Chan, et al, 2006, 70), las HA como OA son, a su vez, una fuente para que un docente profesional diseñe OA para sus cursos de Matemáticas.
Figura 3. La Historia de una Actividad.
4. Un ejemplo: Una Red de Actividades para Estadística y Probabilidad
En el blog se tiene oportunidad de reflexionar sobre las actividades de aprendizaje, alrededor de las cuales se enfoca y encamina la discusión de la práctica docente del profesor. Las actividades pueden girar alrededor de problemas, problemas guiados, proyectos, lecturas o ejercicios. La elección de las actividades se ha realizado por la potencia que tienen para representar y manipular objetos matemáticos, así como sus relaciones. Se reconoce el grado de dificultad que existe para comprender conceptos como muestreo, variable aleatoria, probabilidad, funciones probabilísticas y se opta por estas actividades que permiten la exploración y el descubrimiento de conceptos y principios, que de otro modo serían mucho más abstractos. Regularmente ocurre que las actividades se interrelacionan entre sí por sus objetivos curriculares o porque una de ellas es generadora de otra u otras. Por ejemplo, en ocasiones un problema engendra otro problema, o una lectura engendra un problema. Así se constituyen las redes de actividades de aprendizaje que se vinculan desde perspectivas diferentes y que se pueden articular de varias maneras para cumplir diversos objetivos didácticos o en distintos niveles cognitivos, dando como resultado la formación de secuencias de aprendizaje.
La red de actividades ‘El método de simulación como una estrategia didáctica’ consta de una lectura y cuatro problemas. Esta red surge a partir del artículo ‘El método de simulación de Montecarlo’ (Paulos, 1993, pp 166-168), cuyo análisis y profundización engendra diversas preguntas que pueden concretarse en problemas. Hasta el momento, se han generado los problemas: ‘Racha de cinco’, ‘El basquetbolista’, ‘El varoncito’ y ‘Los amantes del metro Pino Suárez’. También incluimos la exploración y manipulación de la actividad ‘Probabilidad y azar’ (Nuñez, 2001) como una actividad complementaria. En su conjunto las seis actividades tienen como objetivo principal el uso de la simulación para resolver un problema y para la comprensión de conceptos de Estadística Descriptiva, como la tabla de frecuencias, el histograma, algunas medidas de dispersión y de centralización, y de probabilidad, como la aleatoriedad y la probabilidad frecuencial pudiéndose llegar hasta la comparación de una distribución empírica con la distribución teórica. En esta presentación, seleccionamos la lectura y dos de esos problemas (‘Racha de cinco’ y ‘El basquetbolista’) para ejemplificar los comentarios didácticos de las actividades que forman una de las secuencias posibles de esta red, aunque comentamos algunos resultados que se han obtenido en las otras actividades de la misma secuencia.
Una Lectura, Muchas Preguntas
‘El método de simulación de Montecarlo’ de John Allen Paulos (1993, pp 166-168) es un artículo corto, cuya lectura no toma más allá de 10 minutos, sin embargo su comprensión no es inmediata. La discusión alrededor de ella estará guiada por preguntas sobre los dos ejes principales de la lectura: el uso de la simulación para resolver problemas y las bondades y los pormenores del uso de un modelo matemático. Los estudiantes leen y comentan el artículo por equipo con el objetivo de responder las preguntas guía. Luego se pide exponer sus respuestas a uno o dos equipos. Las respuestas se entregan por escrito, aunque en el momento en que se exponen se pide un comentario oral. La discusión que se suscita puede propiciar la simulación de las situaciones planteadas en la lectura con dados, una moneda o una tómbola. El profesor debe ir preparado para ello con material que lo haga posible. En esta primera fase es posible que las explicaciones de los estudiantes no alcancen el grado de profundidad deseado, sin embargo ésta es sólo la primera fase y las preguntas planteadas en la lectura engendran problemas, que al ser analizados, dan una mejor comprensión del artículo. Para tener una mejor idea del grado de asimilación de nuestros estudiantes al realizar esta secuencia de actividades es recomendable volver a la lectura en un grupo de discusión virtual al finalizar la secuencia. La discusión virtual facilita retomar las deliberaciones de los estudiantes en distintos momentos del curso, en donde el profesor crea que se ha añadido un punto a favor de la polémica. Este tipo de discusiones ayudan a plasmar las ideas por escrito y a recapitular sobre ellas. No olvidemos que en los niveles educativos que trabajamos, la probabilidad y la estadística generalmente utilizan nociones matemáticas y procedimientos gráficos fáciles de realizar, pero que aun los conceptos básicos dentro de estas ramas de la matemática generan controversias que no se han podido esclarecer. Las discusiones virtuales no sólo favorecen el debate sino también la disertación.
Dos Problemas Secuenciados
‘Racha de cinco’ es una versión más simple de ‘El basquetbolista’, cuyo núcleo está descrito en la lectura de John Allen Paulos. En ‘Racha de cinco’ se trata de simular juegos de fútbol para analizar la probabilidad de que tu equipo favorito gane un torneo en el que se juegan cinco partidos, sólo con la posibilidad de perder o ganar. Esta simplificación facilita la simulación de la situación a través de lanzamientos de una moneda, con un dado o con una tómbola en el que haya más de dos opciones. Estas simulaciones físicas tienen el objetivo de abstraer los elementos básicos de la situación con la finalidad de extraer la información necesaria para llevar al estudiante al planteamiento de simulaciones con uso de tecnología puesto que se pide que se simulen 100 torneos. La herramienta tecnológica que se use dependerá de las que el profesor y los estudiantes tengan disponibles, aunque la situación didáctica cambia según as características de la herramienta. La generación de números aleatorios puede exigir una programación simple, a través de la condicional: ‘Si... entonces...’ o la definición de la distribución, algo que suena muy complicado, pero que en ocasiones es más simple que lo primero aunque da menos opción de dinamismo. Programas como Excel y Fathom pueden ofrecer ambas opciones, en cambio algunas calculadoras se remiten a la primera opción. La simulación como una estrategia se convierte en un medio didáctico (para aprender los conceptos estadísticos deseados) y en una herramienta para resolver problemas. A partir de los casos generados se obtiene la tabla de frecuencias, el histograma y el polígono de frecuencias, se calculan los parámetros y se estiman las respuestas al problema.
La simulación realizada con ‘Racha de cinco’ familiariza al estudiante con la herramienta tecnológica para hacer la simulación de ‘El basquetbolista’ y enfrenta al estudiante con sus primeros conflictos conceptuales. Así, por ejemplo, se observa una tendencia a la no comprensión de la instrucción ‘Si... entonces...’, sólo hasta después de haber gastado un tiempo con simulaciones físicas, algunos estudiantes se deciden a intentar comprenderla. Algo parecido ocurre con la construcción de la tabla de frecuencias con la opción ‘Contar... si...’ optan por el conteo manual hasta que notan la facilidad de hacerlo a través de esa instrucción. Las primeras dificultades conceptuales se observan al elaborar la tabla de frecuencias que no resulta tan simple si el estudiante no se ha dado cuenta de cuál es su variable de interés y del significado, en el contexto del problema de la frecuencia absoluta. El cálculo de los parámetros de interés (moda, media, mediana, desviación estándar, cuarteles y rango intercuartil) ofrece la dificultad de que el estudiante pierde de vista cuáles son sus datos, si los resultados de las simulaciones de cada juego, la suma de juegos ganados en un torneo o la frecuencia absoluta de un cierto número de juegos ganados en todos los torneos, de modo que no sabe sobre qué números calcular los parámetros. Este obstáculo se puede superar si se le ayuda a recapitular sobre el contexto del problema y el sentido de cada una de las columnas obtenidas. También es una buena oportunidad para confrontar los resultados y las formas de obtener los parámetros a través de la tabla de frecuencias y de la tabla de datos. Estos mismos tropiezos pueden volver a presentarse en la solución del problema de ‘El basquetbolista’, pero, muy probablemente, a menor escala. En ambos problemas se pone en juego el cambio de registros y la interpretación e identificación de parámetros en distintas representaciones, lo que facilita la comprensión y apropiación de los conceptos.
Dos de los debates de mayor interés en ambos problemas se producen al comparar los resultados obtenidos por todos equipos. Es muy posible que algunos disten de lo obtenido por el grueso del grupo y que se comience a dudar de la legitimidad de esos datos. La discusión se debe desviar del resultado propiamente a la comprobación de la aleatoriedad de ese resultado a través del proceso seguido para obtenerla. Esto enriquece el debate puesto que se discute uno de los aspectos distintivos del concepto (Batanero, 2001) y propicia traer a colación su acepción formal. La otra discusión se establece alrededor de la relación entre la probabilidad y la frecuencia relativa. Se cuestiona cuál de los resultados obtenidos es el valor real de la probabilidad y posteriormente cuál es el número de simulaciones que lo proporcionan. Los estudiantes pueden proponer sumar todos los datos obtenidos por los equipos para formar una sola secuencia con más simulaciones. Puede no ser una idea mala porque a medida que los datos se incrementan, con cada contribución de los equipos, se puede ir comentando el cambio ocasionado en la gráfica y los parámetros de la nueva distribución. Sin embargo hay que tener presente que si los equipos recurrieron a distintos métodos de simulación, éstos deben tener cierta compatibilidad para no incurrir en el error de mezclar datos que son distintos, generalmente el uso de un mismo programa computacional lo garantiza puesto que usa los mismos métodos aunque la interfaz con el usuario sea diferente. El efecto de observar el cambio en el modelo generado con mayores simulaciones también se logra si un equipo repite muchas veces su simulación, aunque se pierde la participación de todo el grupo. De acuerdo con Fischbein (1975) con esta estrategia se espera que la intuición sobre la frecuencia relativa se desarrolle como consecuencia de esta experiencia. La discusión sobre el valor real de la probabilidad se puede continuar con el problema de ‘El basquetbolista’ cuando el curso permita introducir la distribución binomial y se puedan comparar las distribuciones teórica y empírica obtenidas. Con esto también se añade un punto de enriquecimiento a la discusión de la simulación y la modelación.
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Para lograr una mejor educación de la intuición a través de la experiencia, es deseable que el estudiante entregue conjeturas por escrito antes de realizar cualquier cálculo o simulación. En un principio, generalmente, ellos hacen sus conjeturas muy espontáneamente y casi sin ninguna resistencia, pero muestran escasa intuición. Los valores de probabilidad que proponen son muy altos, aunque lo son menos en ‘El basquetbolista’ que en ‘Racha de cinco’. A medida que se desarrolla la secuencia de actividades su intuición va mejorando, aunque también se vuelven más prudentes y tienen el impulso de detenerse a razonar sus predicciones.
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Suárez, L.; Ortega, P.; Servín, Y.; Téllez, J.; Torres, J.L. (2005). Paquetes Didácticos de Matemáticas: Integración de la investigación y la innovación tecnológica. Memoria de Virtual Educa. México, D.F. 2005. [en línea]. Consultado 19 de octubre de 2005. Disponible en: http://somi.cinstrum.unam.mx/virtualeduca2005/resumenes/2005-03-31456Matematicas_VirtualEduca.doc.
[1] Proceso que establece un usuario con un dispositivo, sistema u objeto determinado. Entre otros factores, en el diseño de interacción intervienen disciplinas como la usabilidad y la ergonomía. La usabilidad en español significa capacidad de uso, es decir, la característica que distingue a los objetos diseñados para su utilización de los que no. Sin embargo la acepción inglesa es más amplia y se refiere a la facilidad o nivel de uso, es decir, al grado en el que el diseño de un objeto facilita o dificulta su manejo. La ergonomía es un campo de conocimientos multidisciplinarios que estudia las características, necesidades, capacidades y habilidades de los seres humanos, analizando aquellos aspectos que afectan al entorno artificial construido por el hombre relacionado directamente con los actos y gestos involucrados en toda actividad de éste. (Interacción, Wikipedia, 2007).
[2] En el contexto de la comunicación entre ser humano y máquina, la interactividad se refiere al comportamiento interactivo del aparato tal como lo experimente el primero. Esto difiere de otros aspectos de la máquina tales como su apariencia visual, su forma de trabajo interna, o el significado de los signos que transmita. Los sistemas complejos que detectan y reaccionan a la conducta humana son frecuentemente denominados "interactivos". Bajo esta perspectiva, la interacción incluye respuestas a las actividades físicas humanas, por ejemplo el movimiento (lenguaje corporal) o al cambio en los estados psicológicos. (Interactividad, Wikipedia, 2007).
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