Actividades de Probabilidad y Estadística con Tecnologías de la Información y la Comunicación

Actividades de Probabilidad y Estadística con Tecnologías de la Información y la Comunicación
José Luis Torres Guerrero, CECyT Cuauhtémoc del IPN
Liliana Suárez Téllez, Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del IPN
Pedro Ortega Cuenca, Centro de Tecnología Educativa del IPN
María Eugenia Ramírez Solís, CECyT Luis Enrique Erro del IPN
Blanca R. Ruiz Hernández, ITESM – Campus Monterrey
Adriana Gómez Reyes, CECyT Ricardo Flores Magón del IPN
Claudia Flores Estrada, CECyT Benito Juárez del IPN
Citlali Yacapantli Servín Martínez, Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del IPN

Planteamiento
Con la finalidad de contribuir a la actualización y profesionalización docente en el Instituto Politécnico Nacional y tomando en cuenta los Paquetes Didácticos de Matemáticas, se ha diseñado e implementado el “Taller con Actividades de Aprendizaje de Probabilidad y Estadística con uso de Tecnologías de la Información y la Comunicación” (APETIC) en el que se discuten algunos resultados de investigación en Educación Estadística, asociados a una red de actividades para que los profesores participantes (del nivel medio superior y superior), diseñen, organicen e instrumenten actividades y planes de clase en los que utilizan las Tecnologías de Información y Comunicación (TIC), particularmente de calculadoras, editores de datos y programas de estadística dinámica. Uno de los objetivos de largo alcance del taller APETIC es la conformación de una Comunidad para la realización de innovación e investigación en Educación Estadística que tome en cuenta los estados del conocimiento de la disciplina.

Marco teórico
El diseño del taller se basa en la caracterización que se hace de las actividades de aprendizaje (AA) que integran las redes y secuencias de aprendizaje del ‘Paquete Didáctico del Curso de Probabilidad y Estadística’ del Bachillerato del Instituto Politécnico Nacional (IPN) de México (Suárez, Ortega, Servín, Téllez y Torres, 2005). Se toma de referencia para el diseño de las AA ‘Un Marco para la elección de Problemas’ (Alarcón, 1995). También se consideran los resultados de la investigación en Educación Estadística (Batanero, 2001), particularmente los relativos al uso de la modelación y la simulación en la resolución de problemas de probabilidad para confrontar y superar las intuiciones primarias en algunos conceptos y teoremas importantes, como la probabilidad condicional, el teorema del límite central y la distribución teórica, entre otros. Se han seleccionado AA que tratan conceptos, tanto de probabilidad como de estadística, que pueden simularse utilizando diversas herramientas tecnológicas en algún programa de Estadística Dinámica. Se eligieron programas de Estadística Dinámica porque permiten representar y manipular objetos matemáticos, así como sus relaciones, utilizando animaciones y otras herramientas propias del programa, que ayudan a la mejor comprensión de los conceptos y procesos involucrados.

Metodología
La caracterización de AA permite constituir redes de actividades que se interrelacionan entre sí por sus objetivos curriculares o porque una de ellas es generadora de otras.; una de estas redes está relacionada con la lectura ‘El método de simulación de Montecarlo’ (Montecarlo) de John Allen Paulos (1993, pp 166-168). A partir de ella se discuten algunos resultados de investigación en Educación Estadística, en particular sobre conceptos de estadística descriptiva, aunque también se pueden definir objetivos sobre probabilidad dependiendo del nivel educativo para el que se diseñe. En el taller se invita a que los profesores participantes, a partir de la realización de las AA como discentes y de su reflexión como docentes, diseñen, organicen e instrumenten actividades y planes de clase en los que utilicen las TIC, formando comunidades de aprendizaje, virtuales o presenciales, que integren adecuadamente estas tecnologías en su práctica docente para mejorar la comprensión y el uso de las ideas de la probabilidad y la estadística.
El objetivo del taller APETIC no es sólo proporcionar al profesor redes de actividades y materiales sobre los que él tenga que decidir y planear para definir secuencias que ponga en práctica en su propio curso, sino también discutir justificaciones y documentos que aporten herramientas que le faciliten la planeación de un curso.
La historia del problema está constituida principalmente por la caracterización de la actividad, las soluciones del problema y un comentario didáctico. La caracterización clasifica a la actividad de acuerdo a su modalidad de trabajo y experiencia de aprendizaje, herramientas tecnológicas, representaciones y estrategias en el proceso de solución, el producto esperado y la evaluación. De las soluciones posibles del problema, se prefiere la que se llama ‘de referencia’, que es la más congruente con los objetivos planteados, sin dejar de lado otras soluciones. El comentario didáctico de la actividad se refiere al objetivo del problema en términos de las posibles soluciones, a las distintas vías que puede seguir un estudiante para avanzar en la solución de la actividad con la aplicación de las estrategias correspondientes y describe la articulación de las representaciones. El comentario también apunta algunas sugerencias para la interacción con los estudiantes durante la realización de la actividad y para la discusión de las soluciones que se hace con todo el grupo. La historia del problema es abierta y acumulativa, el trabajo sucesivo irá conformando historias de problemas, en particular, y de actividades, en general, que se robustecerán cada vez que un profesor las trabaje en clase y registre en un blog colectivo los resultados de su experiencia. Esta labor se realiza mejor aprovechando las comunidades de aprendizaje y la red de interacción académica en internet.
La discusión de la práctica docente del profesor se enfoca y orienta alrededor de las actividades de aprendizaje, que constituyen el núcleo de reflexión del taller APETIC. Las actividades pueden girar alrededor de problemas, problemas guiados, proyectos, lecturas o ejercicios. Su elección se ha realizado por la potencia que proporcionan para representar y manipular objetos matemáticos, así como sus relaciones. Se reconoce el grado de dificultad que existe para comprender conceptos como muestreo, variable aleatoria, probabilidad, funciones probabilísticas y se opta por las actividades que permiten la exploración y el descubrimiento de conceptos y principios, que de otro modo serían mucho más abstractos. Las actividades de una red se interrelacionan entre sí por sus objetivos curriculares o porque una de ellas es generadora de otras. Por ejemplo, un problema o una lectura engendran otro problema. Así se constituyen las redes de actividades de aprendizaje que se vinculan desde perspectivas diferentes y que se pueden articular de varias maneras para cumplir diversos objetivos didácticos, o en distintos niveles cognitivos, dando como resultado la formación de secuencias de aprendizaje.
La red de actividades ‘El método de simulación como una estrategia didáctica’ consta de una lectura y cuatro problemas. Esta red surge a partir de ‘Montecarlo’, cuyo análisis y profundización engendra diversas preguntas que pueden concretarse en problemas. Los problemas son: ‘Racha de cinco’, ‘El basquetbolista’, ‘El varoncito’ y ‘Los amantes del metro Pino Suárez’. En su conjunto las cinco actividades tienen como objetivo principal el uso de la simulación para resolver un problema y para la comprensión de conceptos de estadística descriptiva, como la tabla de frecuencias, el histograma, algunas medidas de dispersión y de centralización, y de probabilidad, como la aleatoriedad y la probabilidad frecuencial pudiéndose llegar hasta la comparación de una distribución empírica con la distribución teórica.
‘Montecarlo’ es un artículo corto cuya lectura no toma más allá de 10 minutos, sin embargo su comprensión es complicada. La discusión alrededor de ella estará guiada por preguntas sobre los dos ejes principales de la lectura: el uso de la simulación para resolver problemas y las bondades y los pormenores del uso de un modelo matemático. Los estudiantes leen y comentan el artículo por equipo para responder las preguntas guía. Luego se pide exponer sus respuestas a uno o dos equipos. Las respuestas se entregan por escrito, aunque también se pide una disquisición verbal. La discusión que se suscita puede propiciar la simulación de las situaciones planteadas en la lectura con dados, una moneda o una tómbola. El profesor debe ir preparado para ello con material que lo haga posible. En esta primera fase es posible que las explicaciones de los estudiantes no alcancen el grado de profundidad deseado, sin embargo esta es sólo la primera fase y las preguntas planteadas en la lectura engendran problemas, que al ser analizados, dan una mejor comprensión del artículo. Para tener una mejor idea del grado de asimilación de nuestros estudiantes al realizar esta secuencia de actividades es recomendable volver a la lectura en un foro de discusión virtual al finalizar la secuencia. La discusión virtual facilita retomar las deliberaciones de los estudiantes en distintos momentos del curso, en donde el profesor crea que se ha añadido un punto a favor de la polémica. No olvidemos que en los niveles educativos que trabajamos, la probabilidad y la estadística generalmente utilizan nociones matemáticas y procedimientos gráficos fáciles de realizar, pero que aun los conceptos básicos dentro de estas ramas de la matemática generan controversias que no se han podido esclarecer. Las discusiones virtuales no sólo favorecen el debate sino también la disertación.
‘Racha de cinco’ es una versión más simple de ‘El basquetbolista’, descrito en ’Montecarlo’. Se define un modelo para simular un juego y luego el conjunto de juegos. Se hacen simulaciones físicas y después con programas informáticos, como Excel y Fathom. La simulación como una estrategia se convierte en un medio didáctico (para aprender los conceptos estadísticos deseados) y en una herramienta para resolver problemas. A partir de los casos generados se obtiene la tabla de frecuencias, el histograma y el polígono de frecuencias, se calculan los parámetros y se estiman las respuestas al problema.
La simulación realizada con ‘Racha de cinco’ familiariza al estudiante con la herramienta tecnológica para hacer la simulación de ‘El basquetbolista’ y enfrenta al estudiante con sus primeros conflictos conceptuales. Así por ejemplo, se observa una tendencia a la no comprensión de la instrucción ‘Si... entonces...’, sólo hasta después de haber gastado un tiempo con simulaciones físicas, algunos estudiantes se deciden a intentar comprenderla. Algo parecido ocurre con la construcción de la tabla de frecuencias con la opción ‘Contar... si...’ optan por el conteo manual hasta que notan la facilidad de hacerlo a través de esa instrucción. Las primeras dificultades conceptuales se observan al elaborar la tabla de frecuencias que no resulta tan simple si el estudiante no se ha dado cuenta de cuál es su variable de interés y del significado, en el contexto del problema de la frecuencia absoluta. El cálculo de los parámetros de interés (moda, media, mediana, desviación estándar, cuartiles y rango intercuartil) ofrece la dificultad de que el estudiante pierde de vista cuáles son sus datos, si los resultados de las simulaciones de cada juego, la suma de juegos ganados en un torneo o la frecuencia absoluta de un cierto número de juegos ganados en todos los torneos, de modo que no sabe sobre qué números calcular los parámetros. Este obstáculo se puede superar si se le ayuda a recapitular sobre el contexto del problema y el sentido de cada una de las columnas obtenidas. También es una buena oportunidad para confrontar los resultados y las formas de obtener los parámetros a través de la tabla de frecuencias y de la tabla de datos. Estos mismos tropiezos pueden volver a presentarse en la solución del problema de ‘El basquetbolista’, pero, indudablemente, a menor escala. En ambos problemas se pone en juego el cambio de registros y la interpretación e identificación de parámetros en distintas representaciones, lo que facilita la comprensión y apropiación de los conceptos.
Dos de los debates de mayor interés en ambos problemas se producen al comparar los resultados obtenidos por todos equipos. Es muy posible que algunos disten de lo obtenido por el grueso del grupo y que se comience a dudar de la legitimidad de esos datos. La discusión se debe desviar del resultado, a la comprobación de la aleatoriedad de ese resultado a través del proceso seguido para obtenerla. Esto enriquece el debate puesto que se discute uno de los aspectos distintivos del concepto (Batanero, 2001) y propicia traer a colación su acepción formal. La otra discusión se establece alrededor de la relación entre la probabilidad y la frecuencia relativa. Se cuestiona cuál de los resultados obtenidos es el valor real de la probabilidad y posteriormente cuál es el número de simulaciones que lo proporcionan. Los estudiantes suelen proponer sumar todos los datos obtenidos por los equipos para formar una sola secuencia con más simulaciones. Puede no ser una idea mala porque a medida que los datos se incrementan, con cada contribución de los equipos, se puede ir comentando el cambio ocasionado en la gráfica y los parámetros de la nueva distribución. Sin embargo hay que tener presente que si los equipos recurrieron a distintos métodos de simulación, éstos deben tener cierta compatibilidad para no incurrir en el error de mezclar datos que son distintos, generalmente el uso de un mismo programa computacional lo garantiza puesto que usa los mismos métodos aunque la interfaz con el usuario sea diferente. El efecto de observar el cambio en el modelo generado con mayores simulaciones también se logra si un equipo repite muchas veces su simulación, aunque se pierde la participación de todo el grupo. Según Fischbein (1975) la intuición sobre la frecuencia relativa se desarrolla como consecuencia de esta experiencia. La discusión sobre el valor real de la probabilidad se puede continuar con el problema de ‘El basquetbolista’ cuando el curso permita introducir la distribución binomial y se puedan comparar las distribuciones teórica y empírica obtenidas. Con esto también se añade un punto de enriquecimiento a la discusión de la simulación y la modelación. La comparación entre el modelo teórico y empírico se puede retomar en las siguientes actividades de la red.
Se pide al estudiante que entregue conjeturas por escrito antes de realizar cualquier cálculo o simulación para lograr una mejor educación de la intuición a través de la experiencia. En un principio, ellos hacen sus conjeturas casi sin ninguna resistencia, aunque erróneamente. Con la secuencia de AA su intuición va mejorando, aunque también tienden a razonar sus predicciones.

Resultados
Uno de los productos principales del taller es la historia de los problemas considerando su caracterización según el marco para la elección de problemas (Alarcón, 1995), las evidencias del trabajo de los estudiantes y la experiencia de los profesores en problemas de estructura similar. Este trabajo a profundidad con una actividad permite pasar después a la construcción de redes de problemas y secuencias de actividades aprovechando las historias desarrolladas por un conjunto de profesores.
Otros de los productos del taller son: un plan puntual para el desarrollo de algunas actividades de Probabilidad y Estadística, una red de actividades de aprendizaje (mínimo tres), un plan de las actividades que se realizarán con el uso de las TIC y la constitución de una red de profesores en la que se aprovechen las experiencias de la puesta en práctica de las actividades diseñadas.
Conclusiones
La red de actividades ‘El método de simulación como una estrategia didáctica’ surgió de la lectura de 'Montecarlo'. A partir de ella se engendran problemas que contribuyen al aprendizaje de conceptos estadísticos diversos, y al uso de la simulación como una estrategia didáctica. Los comentarios didácticos seleccionados son una parte de la historia de las actividades que muestran una visión del marco de trabajo que se propone en el taller APETIC y describen el trabajo del profesor y sus estudiantes al realizar estas actividades en una clase de Estadística. La disertación muestra la reacción de los estudiantes ante el uso de la tecnología en el salón de clases y ante la exigencia de usar el método de simulación en distintos momentos. También se ocupa de desglosar y comentar los objetivos didácticos de las actividades, a la vez que se destacan las respuestas de los estudiantes a los diferentes cuestionamientos y aporta sugerencias de los profesores que realizaron estas historias a nuevos profesores interesados en aplicarlas. Así mismo, los resultados se vinculan con algunos de los productos obtenidos en la investigación de Didáctica de la Probabilidad y la Estadística.
Desde nuestro marco metodológico, historiar las actividades es una forma de recapitular y de aprovechar la experiencia docente. Las primeras versiones de la historia de una actividad pueden ser muy rudimentarias, pero rápidamente las contribuciones de los profesores la convierten en un robusto conjunto de referencias de gran utilidad. Nuestra visión es la de un profesor interesado en una mejor organización y reflexión de su propia experiencia que se enriquece con la experiencia de otros profesores. Uno de nuestros principales objetivos es la conformación de una Comunidad interesada en la mejora de la práctica docente a partir de la comunicación e intercambio de información y conocimiento. Historiar las actividades constituye un buen ejemplo de cómo el quehacer de la comunidad profesional apoya y potencia el trabajo del individuo, por la oportunidad que brinda de organizar y reflexionar sobre los resultados obtenidos con nuestros estudiantes al tiempo que ofrece referencias a la actividad docente de otros profesores. En la historia de la actividad el profesor caracteriza las interacciones entre actividad-discente, docente-discente y entre discentes.
La necesidad del desarrollo de una cultura estadística (statical literacy), el razonamiento y el pensamiento estadístico tanto en profesores como en alumnos, así como el uso de las TIC en la modelación y simulación, que son esenciales en probabilidad y estadística, obliga a que se diseñen, organicen e implementen talleres como el descrito.
Referencias
AIM-NMS-IPN (2001). Proyecto ‘Paquetes Didácticos para los Cursos de Matemáticas’. México: AIM-NMS-IPN.
Alarcón, J. (1995). Notas del Seminario ‘Precálculo y Resolución de Problemas’ realizado en el DME-CINVESTAV-IPN.
Batanero, C. (2001). Didáctica de la Estadística. Granada: Grupo de Investigación en Educación Estadística.
Fischbein, E. (1975). The intuitive sources of probabilistic thinking in children. Dordrecht: Reidel Publishing Co.
Paulos, J. A. (1993). Más allá de los números. Barcelona: Tusquets.
Servín, C.; Suárez, L.; Ortega, P. (2005). Actividades de Probabilidad y Estadística con Tecnologías de la Información y de la Comunicación (APETIC). Resumen de cartel aceptado para su presentación en el Congreso Iberoamericano de Educación Matemática, 2005. Porto, Portugal.
Suárez, L.; Ortega, P.; Servín, Y.; Téllez, J.; Torres, J.L. (2005). Paquetes Didácticos de Matemáticas: Integración de la investigación y la innovación tecnológica. Memoria de Virtual Educa. México, D.F. 2005.
Suárez, L., Torres, J.L., Ortega, P., Daowz, P. y Ramírez, M.E. (2007). Hacia un marco para el diseño de contenidos digitales en matemáticas de bachillerato: de los paquetes didácticos a los repositorios de objetos de aprendizaje. Memorias del IV Seminario Nacional de Enseñanza de las Matemáticas a Distancia. Ciudad Guzmán, México, enero de 2007.

Tres palabras claves: Educación estadística, modelación, software de estadística dinámica.